Algèbre, multi-indice, orbite

[invite33c0645d]

Bonjour! J'ai une petite question. Je cherche à prouver qu'il existe un sous-ensemble non dénombrable de l'intervalle ouvert , qui vérifie la condition suivante:
Pour tout entier non nul, quelque soit le -uplet dont les coordonnées sont deux à deux distinctes, l'application

est injective.

On suppose que . Mon idée est d'attaquer le problème "récursivement", mais je bloque un peu. Il est clair que l'ensemble vérifie la condition pour . Pour l'entier , voilà mon idée :

définie une action de groupe sur l'ensemble . L'orbite d'un point est notée et vaut



En notant l'ensemble des orbites, on a la relation fondamentale


Ainsi, on trouve clairement


Pour des raisons de cardinalité ( est au plus dénombrable et non ), en choisissant un élément de chaque ensemble (lorsque cet ensemble est non vide), on construit (sous l'axiome du choix) un ensemble qui vérifie


On montre alors que et sont injectives quelques soit le couple d'éléments de .


Maintenant que le contexte est posé, voilà mes questions. Y a-t-il une extension de la notion d'action de groupe ou relation d'équivalence, de sorte que si l'on construit une "action" qui induit un changement de dimension, alors on peut écrire l'ensemble de départ comme une union disjointe d'élements qui forme les orbites. Ma phrase est sans doute très peu claire. Je donne une idée de ce que je voudrais.

Entre guillemets
On dispose de "l'action généralisée" du groupe sur l'ensemble

On en déduit alors que X se décompose en une union de classes (notion à définir).
Fin des guillemets

J'espère avoir été un mimimum clair, et que cette conversation ne sera pas fermée !

Cordialement,

Suite2
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[invite93e0873f]

Bonjour,

Puisque , il me semble avantageux de passer aux logarithmes, de sorte que le problème devient (en notant ) :

« Montrer que l'ensemble des m-uplet réels (les étant compris dans un certain intervalle ouvert) tels que "l'application est injective" est non dénombrable (dans la m-ième puissance cartésienne de l'intervalle ouvert). »

Ceci découlerait par induction de l'énoncé suivant :

« Soit un ensemble discret. Montrer que l'ensemble des réels r (compris dans un certain intervalle ouvert) tels que " les ensembles sont deux à deux disjoints " est non dénombrable (dans l'intervalle ouvert). »

Ce dernier énoncé se simplifie un peu une fois remarqué que .

Je ne sais pas si cet énoncé est vrai cependant.

Cordialement.

[invite33c0645d]

Merci pour votre contribution Universus.

Puisque , il me semble avantageux de passer aux logarithmes, de sorte que le problème devient (en notant ) :

« Montrer que l'ensemble des m-uplet réels (les étant compris dans un certain intervalle ouvert) tels que "l'application est injective" est non dénombrable (dans la m-ième puissance cartésienne de l'intervalle ouvert). »

Je crains malheureusement que vous vous trompez dans l'énoncé. En effet je cherche une partie de l'ensemble des réels qui vérifie la propriété suivante
Quelquesoit le -uplet d'éléments deux à deux disjoints de , l'application définie précédemment est injective.

Ceci n'est pas tout à fait la même chose que de trouver des m-uplet pour lesquels est une application injective. Par exemple si vous trouvez deux m-uplets et de sorte que les applications et associées soient injectives. alors dans leur ensemble les éléments de et peuvent faire naître une application non injective. Autrement dit il se peut qu'il existe où les sont deux à deux disjoints et l'application associée n'est pas injective. Par exemple, il suffit de prendre .

[invite93e0873f]

Bonjour,

Vous avez raison, votre problème ne devient pas (en passant aux logarithmes) celui que j'ai énoncé. Cependant, il lui est « conditionnellement » équivalent.

Nécessité : Supposons qu'un sous-ensemble ayant les propriétés que vous recherchez existe. Quel que soit l'entier , le sous-ensemble est non dénombrable, puisque l'application est surjective, ceci étant en retour dû au fait chaque est invariant sous l'action du groupe de permutations . Or, en posant , nous avons , d'où la véracité de l'énoncé que j'ai donné.

Suffisance « conditionnelle »: Supposons que l'énoncé que j'ai donné soit vrai pour tout : chaque est non dénombrable. Les applications induisent par composition les applications . Considérons la limite projective . Sous la condition ou l'hypothèse que cette limite est indénombrable, alors elle peut être prise pour , la raison étant que chaque est invariant sous l'action du groupe de permutations . Qui plus est, tout ensemble ayant les propriétés que vous recherchez doit être inclus dans cette limite projective.

L'idée implicite rendant le second énoncé que j'ai donné utile est, par induction, d'exhiber des ensembles qui soient tous indénombrables et tels qu'il existe des « inclusions » . Du coup, la limite projective contient , ce qui conclut.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite33c0645d]

Universus, je vous remercie beaucoup du temps que vous prenez à me répondre. Je suis tout à fait d'accord avec vous sur la preuve de l'implication nécessaire.

J'avoue avoir un peu de mal avec l'argument ( est invariant sous l'action de ) implique ( non dénombrable).

Je vais ensuite vérifier la fin de vos arguments qui me plaisent énormément! J'apprécie souvent les énoncés du type "tout ensemble ayant les propriétés souhaitées est contenu dans..." Autrement dit, il y a une certaine unicité du plus gros ensemble offrant cette propriété.

Je vous remercie beaucoup pour vos détails. Mais pourriez-vous détailler l'argument pour prouver que est non dénombrable ? Je ne connaissais pas cet argument ou du moins pas écrit avec ces mots. Encore une fois merci pour votre temps.

[invite33c0645d]

Vous allez penser que je suis borné, mais je ne comprend toujours pas en quoi l'implication réciproque est vraie.

Vous construisez . En supposant que ce dernier ensemble est non dénombrable, montrons qu'il vérifie les propriétés souhaitées pour l'ensemble .

Pour commecer on fixe un couple d'élements de . Par hyptohèse . Ainsi pour entier ,
.

On en déduit qu'il existe un p-uplet d'éléments de de sorte que .
On peut construire de même les p-uplets tels que l'application est injective et .

En quoi ces deux dernières conditions imliquent que ne peut pas s'écrire sous la forme ? (En effet si alors l'application )

Au risque de paraître lourd, pouvez-vous détaillez comment une sous partie non dénombrable de vérifie les conditions souhaitées ?

Je vous remercie encore de votre attention Universus.

[invite9dc7b526]

et si tu pars d'une base de R comme Q-espace vectoriel (on ne peut pas la construire explicitement mais on peut choisir des nombres positifs). On sait que c'est une famille non dénombrable, mais rien ne dit qu'elle est dans le bon intervalle . Mais on peut mettre n'importe quel intervalle ouvert en bijection avec R. Un petit coup de logarithme pour avoir des combinaisons linéaires. Quand on compose par des bijections on garde l'injectivité. Ca marche ça ou pas?

[invite33c0645d]

Les idées proposées sont claires, il ne me reste qu'à vérfier quelles marchent je reviens au plus vite expliquer sur le forum si ces idées aboutissent à ce que je veux.

[invite93e0873f]

J'avoue avoir un peu de mal avec l'argument ( est invariant sous l'action de ) implique ( non dénombrable).

C'est normal, je ne disais pas que c'était indénombrable, c'était au conditionnel. Malgré cela, vous avez une fois de plus raison, j'ai mal songé en prétendant que , bien que votre contre-exemple n'en soit pas nécessairement un (il n'est pas assuré que pour , il existe un rationnel tel que ). Il faudrait ensuite considérer , mais ce n'est plus utile maintenant que minushabens a si aisément résolu la question.

[invite33c0645d]

@minushabens : Bravo! Vous avez résolu presque entièrement mon problème. Du moins en se basant sur vos belles idées, j'arrive avec un peu de travail à montrer l'existence de mon ensemble .

@Universus : Merci encore pour votre aide. Je n'affirmais pas que mon contre-exemple en était un, mais je me disais qu'il suffisait de prouver que cette situation n'avait pas lieue (et je n'arrivais pas à le faire). J'aurais aimé qu'une solution comme la votre soit trouvée (car c'est celle que je tentais de mettre en place), mais minushabens a tout à fait raison sous l'axiome du choix!

Merci encore à vous pour le temps consacré à cette discussion. J'espère vous venir en aide une autre fois