Algèbre, multi-indice, orbite

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Bonjour! J'ai une petite question. Je cherche à prouver qu'il existe un sous-ensemble non dénombrable de l'intervalle ouvert , qui vérifie la condition suivante:
Pour tout entier non nul, quelque soit le -uplet dont les coordonnées sont deux à deux distinctes, l'application

est injective.

On suppose que . Mon idée est d'attaquer le problème "récursivement", mais je bloque un peu. Il est clair que l'ensemble vérifie la condition pour . Pour l'entier , voilà mon idée :

définie une action de groupe sur l'ensemble . L'orbite d'un point est notée et vaut



En notant l'ensemble des orbites, on a la relation fondamentale


Ainsi, on trouve clairement


Pour des raisons de cardinalité ( est au plus dénombrable et non ), en choisissant un élément de chaque ensemble (lorsque cet ensemble est non vide), on construit (sous l'axiome du choix) un ensemble qui vérifie


On montre alors que et sont injectives quelques soit le couple d'éléments de .


Maintenant que le contexte est posé, voilà mes questions. Y a-t-il une extension de la notion d'action de groupe ou relation d'équivalence, de sorte que si l'on construit une "action" qui induit un changement de dimension, alors on peut écrire l'ensemble de départ comme une union disjointe d'élements qui forme les orbites. Ma phrase est sans doute très peu claire. Je donne une idée de ce que je voudrais.

Entre guillemets
On dispose de "l'action généralisée" du groupe sur l'ensemble

On en déduit alors que X se décompose en une union de classes (notion à définir).
Fin des guillemets

J'espère avoir été un mimimum clair, et que cette conversation ne sera pas fermée !

Cordialement,

Suite2