Bonjour,
Mon professeur de mathématiques nous a donné une méthode pour prévoir l'ordre d'un DL d'un produit de fonctions sachant les ordres des DL de ces fonctions. Or il ne correspond pas à la somme des plus hauts degrés de chaque fonction. Je ne comprend pas pourquoi.
Peux-tu éventuellement développer la méthode de ton professeur ?
Et cela ne peut pas être la somme des plus hauts degrés pour des raisons de précision.
Si on a par exemple, autour de 0 :
Alors on peut avoir le DL suivant :
Idem pour une autre fonction :, et le DL (arbitraire) :
Essaie de faire les produits avec f et g, puis avec les DL sans les petits o : tu vas voir que tu n'as pas les mêmes termes polynomiaux !
Par exemple il te manquera un
Tu es alors bien oblige de tenir compte des petits o dans ton produit. Et comme : " 2*o(x^2) = o(x^2) " , ce terme va éclipser tous les termes de plus haut degré qui apparaîtront dans ton produit, puisqu'ils seront tous négligeables devant !
ATTENTION : Il est maladroit de multiplier ainsi des termes "précis" et des petits o, mais c'est juste pour te faire comprendre l’idée derrière.
Je crois que je comprend !
Le plus petit o qui apparaît en developpant correspond à l'ordre du DL car tout ce qui sera au dessus sera négligeable par rapport, c'est bien ça ?
Bonjour.
C'est parfois plus compliqué. par exemple si tu utilises un DL à l'ordre 7 de sin x et un DL à l'ordre 4 de cos x, en multipliant tu obtiendras un DL à l'ordre 5 de sin(x)cos(x). Car sin(x) est équivalent à x.
Ce que tu disais est vrai lorsque les deux DL ont une constante non nulle.
Mais pourquoi chercher une règle quand simplement écrire sur un brouillon le produit et regarder ce qu'il donne permet de voir directement ce qui se passe, éventuellement de voir jusqu'à quels ordres il faut développer les deux termes ?
Ou bien utiliser la règle simple : avec deux DL à l'ordre n on obtient un DL à l'ordre n en négligeant tous les termes de degré supérieur à n.
Même si parfois on s'aperçoit en calculant qu'on pouvait faire plus court.
Cordialement.
NB : Il est souvent plus intéressant d'utiliser son intelligence que sa mémoire. Même s'il faut des connaissances pour que cette intelligence s'applique.
