Ordres et bijection

[invite14e03d2a]

Bonjour,

en relisant un mémoire que j'avais écrit sur les ordinaux, j'en suis venu à me poser la question suivante:
On note l'ordre naturel sur . Si est une bijection de , on défini l'ordre par . Est-ce que tous les bons ordres sur peuvent être construits de cette manière?

Cordialement
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[invite986312212]

si tu te donnes un bon ordre sur N, il a un plus petit élément, ça va être phi^{-1}(0). Le complémentaire de phi^{-1}(0) a un plus petit élément, ça va être phi^{-1}(1), etc.
ça marche ça ou c'est trop naïf?

[Médiat]

Bonjour,

en relisant un mémoire que j'avais écrit sur les ordinaux, j'en suis venu à me poser la question suivante:
On note l'ordre naturel sur . Si est une bijection de , on défini l'ordre par . Est-ce que tous les bons ordres sur peuvent être construits de cette manière?

.

Je ne crois pas, car on peut munir de l'ordre de , aussi bien que de l'ordre de , qui ne sont pas isomorphes.

[Médiat]

si tu te donnes un bon ordre sur N, il a un plus petit élément, ça va être phi^{-1}(0). Le complémentaire de phi^{-1}(0) a un plus petit élément, ça va être phi^{-1}(1), etc.
ça marche ça ou c'est trop naïf?

Cela n'assure pas que l'on a une bijection.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Cela n'assure pas que l'on a une bijection.

Plus précisément cela n'assure pas que l'on a une application, mais avec un peu de cosmétique, cela démontre que tout bon ordre sur admet (c'est à dire , muni de la relation d'ordre habituelle) pour segment initial (le contraire voudrait dire que peut être muni d'un bon ordre fini ).

[Médiat]

Je profite de ce fil pour poser une autre question connexe.
On sait que l’ensemble muni de la relation d’appartenance est un bon ordre (0, 1, 2, 3, …).
On peut assez facilement définir d’autres ordres sur qui ont le même ordinal (1, 0, 2, 3, …), par exemple ; ces ordres, comme ne contiennent pas d’élément limite (le plus petit élément n’est pas considéré comme limite)
Une façon de construire de tels ordre est, effectivement, à l’aide d’une bijection , et de définir un nouvel ordre :

Pouvez-vous répondre à la question suivante :
Est-ce que toutes les façons d’ordonner , avec un bon ordre ne contenant aucun élément limite peuvent se construire à l’aide d’une bijection, comme ci-dessus ?

[invite14e03d2a]

Merci pour vos réponses

Bonjour,
.

Je ne crois pas, car on peut munir de l'ordre de , aussi bien que de l'ordre de , qui ne sont pas isomorphes.

Pour être sûr de bien comprendre: munir de l'ordre de , est-ce que cela peut se faire en définissant cet ordre comme:
-l'ordre usuel sur
-0 strictement supérieur à tous les entiers?
(ce qu'on peut résumer par: 1<2<3<...<n<n+1<...<0)

Je profite de ce fil pour poser une autre question connexe.
On sait que l’ensemble muni de la relation d’appartenance est un bon ordre (0, 1, 2, 3, …).
On peut assez facilement définir d’autres ordres sur qui ont le même ordinal (1, 0, 2, 3, …), par exemple ; ces ordres, comme ne contiennent pas d’élément limite (le plus petit élément n’est pas considéré comme limite)
Une façon de construire de tels ordre est, effectivement, à l’aide d’une bijection , et de définir un nouvel ordre :

Pouvez-vous répondre à la question suivante :
Est-ce que toutes les façons d’ordonner , avec un bon ordre ne contenant aucun élément limite peuvent se construire à l’aide d’une bijection, comme ci-dessus ?

Je pense que oui, la construction de la bijection s'effectuant comme suggéré par Ambrosio.

[Médiat]

Pour être sûr de bien comprendre: munir de l'ordre de , est-ce que cela peut se faire en définissant cet ordre comme:
-l'ordre usuel sur
-0 strictement supérieur à tous les entiers?
(ce qu'on peut résumer par: 1<2<3<...<n<n+1<...<0)

Tout à fait

Je pense que oui, la construction de la bijection s'effectuant comme suggéré par Ambrosio.

Je laisse mijoter avant de me prononcer ...

[Médiat]

Pouvez-vous répondre à la question suivante :
Est-ce que toutes les façons d’ordonner , avec un bon ordre ne contenant aucun élément limite peuvent se construire à l’aide d’une bijection, comme ci-dessus ?

La question posée est bien celle citée ci-dessus, et la réponse la plus adaptée est "Non, on ne peut pas répondre à cette question ambiguë".
Je me suis clairement placée dans une théorie des ensembles en parlant de (et non de ), disons ZFC pour être tranquille

L'ambiguité est sur la signification de "toutes" :
Si par "toutes" on entend toutes les relations d'ordre d'un modèle particulier qui permettent d'ordonner , alors elles sont, par définition, du type évoqué.
Si par "toutes" on entend toutes celles qui sont potentiellement comprises ainsi par un être humain, alors la réponse est non, toutes ces relations d'ordres n'appartiennent pas forcément au modèle (il y a clairement un nombre non dénombrables de tels ordres, et il est impossible de les trouver toutes dans un modèle dénombrable (cf. paradoxe de Skolem)).