démonstration: composition de bijection est une bijection.

[neokiller007]

Salut,

Je n'arrive pas à comprendre la démonstration qui prouve qu'une composée d'application bijective est bijective.

Soit f application bijjective de E dans F et g application bijective de F dans G.

Or f application bijjective de E dans F
Et g application bijjective de F dans G
Donc bijjective (je remplace y par f(x))
Et là on est bloqué...


Merci de m'expliquer.
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[ericcc]

Une fois que l'on a un unique y dans F, il n'y a qu'un seul x dans E tel que y=f(x). C'est fini.

[neokiller007]

cela signifie que j'ai le droit de remplacer par ?

[ericcc]

Tu sais que pour un z donné, il n'y a qu'un seul y tel que z=g(y). Pour ce même y, il n'y a qu'un seul x tel que y=f(x); donc ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[neokiller007]

donc il n'y a qu'un seul z tel que z=g(f(x))=(gof)(x), oui je suis d'accord, mais je veux le faire avec le langage mathématiques.

[ericcc]

Il suffit d'écrire ma phrase avec des quantificateurs.

[neokiller007]

D'accord je vois.
Mais il reste un dernier problème, on a monré que gof injective <=> f injective et g injective
Mais ça c'est faux; ce qui est vrai c'est f injective et g injective => gof injective.

Ou est le problème ?

[ericcc]

Je ne comprends pas ta question : on a montré que si f et g sont bijectives, alors fog l'est aussi.
Où est le rapport ?

[neokiller007]

Désolé , remplace mes "injective" par "bijective"

[ericcc]

OK, relis ma phrase

[neokiller007]

Je ne comprend pas.
On vient bien de démontrer: f bijective et g bijective <=> fog bijective. Non ?

[ericcc]

Quand a t on démontré le sens fog bijective ==> f et g bijectives ?

[neokiller007]

Ben depuis le début je suis parti avec des équivalents.

[ericcc]

Ben depuis le début je suis parti avec des équivalents.

Oui mais la dernière étape ?

[neokiller007]

Ben qu'est-ce qui m'empêche d'y aller avec une équivalence ?

[ericcc]

Quand tu prends y dans F, tu n'as plus le caractère universel. Tu ne peux donc plus "remonter" le raisonnement.
Pour être clair :
f,g bijective <==>pour tout z il y a un seul y tel que z=g(y) ET pour tout y il y a un seul x tel que y=f(x)
==>fog est bijective.

Essaye de prouver à partir de fog bijective que
pour tout z il y a un seul y tel que z=g(y) ET pour tout y il y a un seul x tel que y=f(x)
Tu n'y arriveras pas.

C'est pour cela que je dis que la dernière partie n'est pas une équivalence.

[neokiller007]

D'accord merci.