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[TS] Bijection



  1. #1
    SeD SOS

    Post [TS] Bijection


    ------

    Bonjour !

    Voilà mon problème : j'ai f(x) = x + 1 + (racine carrée de (x2 + 4x)).

    Je dois "démontrer que f définit une bijection de [0; +infini[ sur [1; +infini[, dont la bijection réciproque est l'application h, qui est définie sur [1; +infini[ par : h(x) = ((x + 1)2 - 4(x + 1) + 4) / (2*(x + 1))".

    Quelle méthode utiliser ? Je sais que selon le théorème dit "de la bijection", si f est une application continue et monotone sur I alors f est une bijection de I sur f(I). Cela se traduit-il par le fait que f étant en effet continue et strictement croissante sur [0; +infini[, alors est bijection de I sur f(I)= [f(0)=1 ; +infini[ ?

    Ou dois-je utiliser la méthode qui consiste à montrer que f(x)=y ssi x=h(y) ?
    Je fais alors x = h(y) et obtiens : x = (y2 - 2y + 1) / (2(y + 1)).

    Que faire ?

    -----
    L'homme est la seule créature qui refuse d'être ce qu'elle est.

  2. #2
    cyberantoine

    Re : [TS] Bijection

    Tu as vu ce qu'il faut faire.

    Quelques petites précisions :
    Pour le thèorème de la bijection, ta fonction doit être continue et strictement monotone. (ta dérivée ne peut s'annuler ou changer de signe). En calculant la dérivée de f, tu le montres facilement. Ta fonction f réalise ainsi une bijection de I dans f(I) donc ici de [0;+infini[ dans [f(0); lim quand x tend vers l'infini de f(x)[.

    Pour montrer que h est la fonction réciproque de f, tu peux montrer que la composée des deux est la fonction identité, c'est à dire que f(h(x))=x ou que h(f(x))=x. Et la il faut faire un peu de calcul.

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