bijection

[invitee33d974a]

Salut
Soit E un ensemble et a un élément de cet ensemble,
f : P(E)---->P(E)
X----> X U {a} si a n'appartient pas à X
X----> X -{a} si a appartient à X
comment montrer que f est une bijection ?!!
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[Hamb]

Je ne comprends pas ce qu'est P(E). En tout cas, pour montrer qu'une fonction est bijective, il faut montrer que tout élément de l'ensemble d'arrivée a un antécédent et qu'il n'y a pas deux éléments de l'ensemble de départ qui ont la même image.

[invitee33d974a]

P(E) c'est l'ensemble de parties de E
je sais bien pour la définition d'une fct bijective
mais je ne sais pas comment l'appliquer ici ?

[invited19460d1]

Bonsoir,
C'est une bijection.

Si il existe X1 et X2 avec f(X1)=f(X2) cela veut dire:

cas N°1: a est element de X1

f(X1)= X1U{a}
deux options: *** a est element de X2, on a alors f(X2) = X- moins {a} ce qui contredit l'hypothèse f(X1)= f(X2)
*** a n'est pas element de X2, on a alors f(X2)= X2U{a}. Dire que f(X1)=f(X2) revient donc à dire que X1 = X2

Cas N°2: a n'est pas element de X1
C'est la meme mais a l'envers...

Bonne année,
Alberto.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Sylvestre]

Salut
Soit E un ensemble et a un élément de cet ensemble,
f : P(E)---->P(E)
X----> X U {a} si a n'appartient pas à X
X----> X -{a} si a appartient à X
comment montrer que f est une bijection ?!!

Salut,

On peut voir que c'est une bijection, en observant qu'elle est son propre inverse.