bijection de xe^x

[invite7be01fc0]

Bonjour,
je dois montrer que f-> x*exp(x) est une bijection de ]-1;+oo[ sur un intervalle contenant 0.

Si je pose x=y/exp(x), je dois montrer que x(y) est prolongeable en 0 ?
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[invite4b9cdbca]

Salut !
Pourquoi ne pas montrer que la fonction est strictement croissante (et continue) sur ]-1 ; +infini[ ?

[invite7be01fc0]

merci Kron

[invite7be01fc0]

pour la suite on me demande un dl(0) à l'ordre 3 de la fonction réciproque.
Je dois donc trouver un dl de g(y)=y/exp(x) ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4b9cdbca]

Que te dis ton cours sur le DL de fonctions réciproques ?

[invite7be01fc0]

je connais mon cour parfaitement Nous n'avons pas encore vu cette notion

[invitec053041c]

J'ai fait le cours sur les DL, et je n'ai vu nulle part la notion de développement limité d'une fonction réciproque.Pourrais-tu dire en quoi celà consiste?
Merci.

[invite4b9cdbca]

Bonsoir !
Pour être honnête je ne connais pas bien mon cours sur les DL (sorry ), donc je posais la question à tout hasard.
Sinon j'ai essayé en utilisant tout ce qu'on connait sur les réciproques (surtout la dérivée) mais ce n'est pas suffisant...
si j'écris (f^-1)'=1/f'(f^-1) j'ai l'expression 1/(x+exp(f^-1(x))) ce qui ne nous avance guère...

[invitecaa90a49]

Bonsoir.

Il s'agit pour moi de démontrer cette même propriété de la fonction (c'est-à-dire qu'elle est bijective) mais de [-1;+∞[.
Donc j'ai bien la propriété sur ]-1;+∞[ par croissance stricte d'une fonction continue.
Mais la dérivé s'annulant en 0, ce résultat peut-il être étendu sans plus de démonstration à l'intervalle demandé?

Si ce n'est pas possible, je pensais tenter de montrer que pour tout ɛ>0, f(-1+ɛ)-f(-1)>0 .

Mais je me demandais s'il n'y avait pas moyen de passer outre cet ajout local au voisinage supérieur de -1.

Merci d'avance.

[invite33c0645d]

Vous aviez raisons !!

Regarder ceci : Tu as f qui est une application bijective sur les bons ensembles. Soit alors g l'application réciproque sur ces bons ensembles.

Que signifie chercher un dl en 0 à l'ordre 3 pour une application C3 ? Il s'agit de calculer les quantités g(0), g'(0), g''(0)...

Le théorème des fonctions implicites affirme que la régularité de g est celle de f. En d'autres termes, g est de classe C infinie tout comme f l'est. Pas convaincu ? Un calcul de dérivée des applications réciproques permet d'établir que : g'(x) = 1/f'(g(x)) mais f est C infinie, g est C1 donc g' est C1 donc g est C2 donc g' est C3 donc....

alors que vaut g(0) ? On a g(0) = y ssi, 0 = f(y) ssi y = 0 d'où g(0) = 0

donc en utilisant la formule de dérivation ci-dessus, on trouve que g'(0) = 1/(1(0+1)) = 1

Puis on ré-dérive l'égalité g'(x) = 1/f'(g(x)) pour trouver que g''(0) = -g'(0)f''(g(0))/f'(g(x))^2 etc...