bijection de xe^x
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bijection de xe^x



  1. #1
    invite7be01fc0

    bijection de xe^x


    ------

    Bonjour,
    je dois montrer que f-> x*exp(x) est une bijection de ]-1;+oo[ sur un intervalle contenant 0.

    Si je pose x=y/exp(x), je dois montrer que x(y) est prolongeable en 0 ?

    -----

  2. #2
    invite4b9cdbca

    Re : bijection de xe^x

    Salut !
    Pourquoi ne pas montrer que la fonction est strictement croissante (et continue) sur ]-1 ; +infini[ ?

  3. #3
    invite7be01fc0

    Re : bijection de xe^x

    merci Kron

  4. #4
    invite7be01fc0

    Re : bijection de xe^x

    pour la suite on me demande un dl(0) à l'ordre 3 de la fonction réciproque.
    Je dois donc trouver un dl de g(y)=y/exp(x) ?

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite4b9cdbca

    Re : bijection de xe^x

    Que te dis ton cours sur le DL de fonctions réciproques ?

  7. #6
    invite7be01fc0

    Re : bijection de xe^x

    je connais mon cour parfaitement Nous n'avons pas encore vu cette notion

  8. #7
    invitec053041c

    Re : bijection de xe^x

    J'ai fait le cours sur les DL, et je n'ai vu nulle part la notion de développement limité d'une fonction réciproque.Pourrais-tu dire en quoi celà consiste?
    Merci.

  9. #8
    invite4b9cdbca

    Re : bijection de xe^x

    Bonsoir !
    Pour être honnête je ne connais pas bien mon cours sur les DL (sorry ), donc je posais la question à tout hasard.
    Sinon j'ai essayé en utilisant tout ce qu'on connait sur les réciproques (surtout la dérivée) mais ce n'est pas suffisant...
    si j'écris (f^-1)'=1/f'(f^-1) j'ai l'expression 1/(x+exp(f^-1(x))) ce qui ne nous avance guère...

  10. #9
    kvinngr

    Re : bijection de xe^x

    Bonsoir.

    Il s'agit pour moi de démontrer cette même propriété de la fonction (c'est-à-dire qu'elle est bijective) mais de [-1;+∞[.
    Donc j'ai bien la propriété sur ]-1;+∞[ par croissance stricte d'une fonction continue.
    Mais la dérivé s'annulant en 0, ce résultat peut-il être étendu sans plus de démonstration à l'intervalle demandé?

    Si ce n'est pas possible, je pensais tenter de montrer que pour tout ɛ>0, f(-1+ɛ)-f(-1)>0 .

    Mais je me demandais s'il n'y avait pas moyen de passer outre cet ajout local au voisinage supérieur de -1.

    Merci d'avance.

  11. #10
    Suite2

    Re : bijection de xe^x

    Vous aviez raisons !!

    Regarder ceci : Tu as f qui est une application bijective sur les bons ensembles. Soit alors g l'application réciproque sur ces bons ensembles.

    Que signifie chercher un dl en 0 à l'ordre 3 pour une application C3 ? Il s'agit de calculer les quantités g(0), g'(0), g''(0)...

    Le théorème des fonctions implicites affirme que la régularité de g est celle de f. En d'autres termes, g est de classe C infinie tout comme f l'est. Pas convaincu ? Un calcul de dérivée des applications réciproques permet d'établir que : g'(x) = 1/f'(g(x)) mais f est C infinie, g est C1 donc g' est C1 donc g est C2 donc g' est C3 donc....

    alors que vaut g(0) ? On a g(0) = y ssi, 0 = f(y) ssi y = 0 d'où g(0) = 0

    donc en utilisant la formule de dérivation ci-dessus, on trouve que g'(0) = 1/(1(0+1)) = 1

    Puis on ré-dérive l'égalité g'(x) = 1/f'(g(x)) pour trouver que g''(0) = -g'(0)f''(g(0))/f'(g(x))^2 etc...

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