Dérivée de sinus(le grand bluff??)

[invite67941a78]

Je me suis posé une question dont je pensais avoir la réponse facilement par internet.
La question trés classique est la suivante :

Pourquoi la dérivée de sinus est-elle le cosinus.

J'ai cherché par Internet(et sur ce forum) et je trouve pleins de démonstrations...
Mais toutes ces démonstrations utilisent le fait que sin x / x tend vers 1 quan x tend vers 0.

Donc j'ai cherché sur internet pourquoi sin x / x tend vers 1 et je trouve pleins de démonstration......
Mais toutes ces démonstrations utilisent le fait que la dérivée de sin est le cos...

Il est donc clair que :
(sinx) /x tend vers 1 quand x tend vers 0 <=> sin' = cos

Mais alors comment démontrer l'un sans utiliser l'autre???
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[invitebb921944]

Bonjour

Mais alors comment démontrer l'un sans utiliser l'autre???

Tu peux faire un développement limité du sinus en 0 à l'ordre n et en déduire la limite par exemple.

[invité576543]

Bonjour,

Mais alors comment démontrer l'un sans utiliser l'autre???

Comme souvent, ça dépend de ce dont on part, des définitions, axiomes et théorèmes admis préalablement à la démonstration.

Si on prend comme définition de sin(x) le coefficient de i dans la partie imaginaire de e^ix l'exponentielle étant elle-même définie par , la démonstration que sin(x)/x tend vers 1 quand x tend vers 0 se fait directement à partir de ces définitions, et le calcul de la dérivée de sin(x) tout aussi directement, et ce indépendamment l'un de l'autre.

Cordialement,

[b@z66]

Personnellement, il me semble me rappeler (souvenirs de première) d'une démonstration utilisant la relation trigonométrique qui permet d'exprimer sin(a+b) (ou sin(x+dx)) en fonction de fonction cos ou sin de a ou b. J'espère que cela t'aidera.

PS:
sin dx est environ égal à dx
cos dx est environ égal à 1.

PS2:
Quant à démontrer que sin dx=dx, il suffit à mon sens de se figurer le cercle trigonométrique: la projection sur l'axe des sinus et l'arc de cercle considéré tendent à se confondre lorsque l'angle tend vers 0.

[A voir en vidéo sur Futura]

[b@z66]

Rectification.

PS2:
Quant à démontrer que sin dx=dx, il suffit à mon sens de se figurer le cercle trigonométrique: la tangente à l'arc de cercle considéré tend à devenir parallèle à l'axe des sinus quand l'angle de cet arc tend vers 0 (pour l'angle autour de 0). D'où des projections identiques: on utilise simplement des considérations géométriques.

[invite67941a78]

A moins que je ne me trompe(je n'ai jamias vraiment compris les developpement en série), les developpement en série de la fonction suinus utilisent le calcul des dérivées de sinus.
Et je prend comme défintition, la définition sur le cercle trigonométrique.

Rectification.

PS2:
Quant à démontrer que sin dx=dx, il suffit à mon sens de se figurer le cercle trigonométrique: la tangente à l'arc de cercle considéré tend à devenir parallèle à l'axe des sinus quand l'angle de cet arc tend vers 0 (pour l'angle autour de 0). D'où des projections identiques: on utilise simplement des considérations géométriques.

Je suis peut-etre bête, mais je ne comprend pas...

[invited7f426cc]

A moins que je ne me trompe(je n'ai jamias vraiment compris les developpement en série), les developpement en série de la fonction suinus utilisent le calcul des dérivées de sinus.

Je suis d'accord. Les cours que j'ai eus sur les développements en séries utilisent la dérivée de sinus pour trouver son développement en série. Mais comme dit mmy, cela dépend toujours des définitions préalables...

[invitec053041c]

Bonjour.
Tu peux utiliser le fait que :


Et en dérivant tu retombes sur tes pattes (les i "tombent" et le moins s'en va ).

[invite35452583]

La réponse de mmy est valable mais ce qui manque toujours à cette définition ou à celle définissant sinus comme l'unique fonction vérifiant y"=-y avec y(0)=0 y'(0)=1 est le lien avec la fonction sinus définie géométriquement : x->on se déplace sur le cercle trigonométrique (quitte à faire plus d'un tour) d'une longueur abs(x) dans le sens trigo si x>0, dans le sens des aiguilles d'une montre si x<0, puis on projette sur l'axe des ordonnées, le sinus de x est l'ordonnée de ce projeté.
Que soit égal à cette autre fonction n'a rien d'évident. Par contre, si on a assez de matériel théorique pour comprendre cette définition par une application complexe et la définition par solution unique d'une équation différentielle, il est aisé de montrer que ces deux définitions sont équivalentes.
Reste à montrer que ces deux définitions plus sophistiquées sont bien équivalentes à la plus "naive" et plus géométrique.
Deux voies :
1) on définit la longueur d'un arc paramétré (x(t), y((t)) par , on a cos²+sin²=1, on montre que l'on peut paramétrer un arc avec cos et sin, ensuite on vérifie aisément que la longueur de l'arc entre le point de coordonnées (1;0) et (cos(x),sin(x)) vaut x. Cette démo va de la définition analytique à la définition géométrique.
Peut-on faire l'inverse ?
Pour cela il suffit de montrer que sin(x)/x tend vers 1 quand x tend vers 0. Ensuite, la relation cos²+sin²=1 on obtient cos²-1=-sin² (cos-1)/x²=-(sin²/x²)(1/(cos+1)) tend vers 1/2, d'où cos'(0)=0, puis les développement de sin(x+dx) et de cos(x+dx) donne cos'=-sin , sin'=cos, et on a alors sinus définie géométriquement fonction qui vérifie l'équa. diff. donnée précédemment, d'où équivalence.
Une "démo" de sin(x)/x tend vers 1 que l'on voit parfois en exercice de lycée est d'encadrer l'aire d'un secteur angulaire de mesure x on obtient cos(x)sin(x)<x<tan(x)=sin(x)/cos(x), à partir des expressions tu devrais facilement retrouver les surfaces considérées, la preuve que cos(x) tend vers 1 à partir de la définition de la longueur d'arc donnée ci-dessous est facile (il ne "manque" pour être satisfaisant que définir une théorie des aires même simplifiées, admises jusque là en collège-lycée avec raison : on n'a pas besoin d'avoir fait la théorie de la mesure pour raisonner sur des surfaces aussi régulières que des polygones ou des secteurs angulaires, et d'admettre que l'aire d'un secteur angulaire d'un cercle unité est égal à la mesure de l'angle).

On peut le montrer rigoureusement en partant de la définition géométrique "naïve" (avec une preuve niveau bonne TleS à quelques détails près, ces détails étant tous vus en Bac+1) Qu'est-ce que la longueur d'un arc est la question à résoudre primordialement si on veut passer par ce biais, la définition donnée ci-avant est peu utilisable car même par une représentation du type nécessite pour les calculs un changement de variable de type x=cos(t).
On considère un arc càd une application continue c: [a,b]->plan, la longueur est la borne supérieure des longueurs des lignes brisées M0M1-M1M2-...-M(n-1)Mn tous les Mi étant sur l'arc et avec M0=c(a) Mn=c(b), Mi est entre M(i-1) et M(i+1). (à remarquer, à plus haut niveau, que pour une courbe sans point double, on a injectivité de [a,b] sur le lieu géométrique de la courbe donc homéomorphisme car [a,b] est compact, deux paramétrisations sont donc équivalentes c:[a,b]->lieu et c' : [a',b']->lieu on a c(a),c(b)=c(a') ou c'(b'), car seuls points pour lesquels leur retrait laisse le lieu connexe, on peut supposer c(a)=c'(a') c(b)=c'(b'), il existe f[a,b]->[a',b'] homéo tel que c'of=c, la notion d'extrémité et d'être entre deux points est donc la même, les lignes brisées considérées sont donc les mêmes et la longueur est donc la même, ouf! on peut alors étendre cette propriété, en faisant un peu attention, aux arcs fermés, aux arcs ouverts et aux arcs fermés avec peu de points fixes, ou aux enroulements du type utilisée pour la définition géométrique de sin et cos)
Qu'est-ce qui justifie cette définition :
i) il est naturel de considérer que la longueur de l'arc entre Mi et M(i+1) est plus grande que la longuieur du segment MiM(i+1), il est donc naturel vu les "précautions" prises pour les lignes brisées envisagées de considérer que la longueur de l'arc est plus grande que toute celles-ci
ii) si pour une longueur donnée, quel que soit la manière que l'on "imite" l'arc par une ligne brisée, la longueur de cette ligne est plus petite que ce nombre il est aussi "naturel" de considérer que cette longueur est au moins aussi grande que la longueur de l'arc.
Ce second point est renforcé par le résultat suivant :
soit une suite de lignes brisées Lm tels que la distance maximale pour un point P de l'arc entre les deux sommets consécutifs entre lesquels il est compris M(m,i) M(m,i+1) tend vers 0 alors la longueur des Lm tend vers la longueur de l'arc définie comme précédemment. (L'uniforme continuité des fonctions continues définies sur un compact nous assure qu'il suffit en fait que la distance entre les paramètres tend vers 0).
On y va avec liminf et limsup (on peut éviter d'y recourir mais ça simplifie).
limsup(longueur de Lm)<=longueur de l'arc=L(arc) car pour tout m longueur de Lm<=L(arc) par définition de cette dernière.
Soit une ligne brisée N : N0N1-N1N2-...-N(n-1)-Nn respectant les conditions données précédemment. Pour une ligne Lm, on considère M(m,0)...M(m,k1) puis M(m,k1+1)...M(m,k2), puis... avec M(m,ki) et M(m,ki+1) sont les deux points pour lequel Ni est entre eux. On a Longueur (Lm)>=somme des longueurs des lignes brisées (Mm,ki +1)...M(m,k(i+1))>=somme des longueurs des segments (Mm,ki +1)M(m,k(i+1))>=somme des (NiN(i+1)-NiM(m,ki + 1)-N(i+1)M(m,k(i+1))>=somme des NiN(i+1)-K.Dm où Dm=distance maximale entre un point de l'arc et un sommet de Lm et K est une constante.
On a donc liminf (long(Lm))>=long(N) pour toute ligne brisée N et en passant à la borne sup : liminf(long(Lm))>=L(arc).
Donc liminf=limsup=L(arc).

On a donc désormais une théorie des longueurs d'arc (c'est la bonne vieille rectification des arcs tout simplement) que l'on peut appliquer pour notre cercle et donc pour notre sinus.
On paramètre notre cercle (on va se contenter du 1/4 de cercle situé dans le 1er quadrant, cela suffira) : (1-x; \sqrt{x(2-x)}) x entre 0 et 1. histoire de ne pas utiliser cos et sin, ce serait prématuré, et d'avoir x=0->I 1;0).
Soit M un point sur le cercle (son 1er quadrant du moins). On veut montrer que L(IM)/ordonnée de M tend vers 1 quand M tend vers I (équiavaut à x tend vers 0).
On appelle P le projeté orthogonal de M sur la tangente au cercle unité passant par I. ordonnée de M=IP.
Une minoration évidente est IM<=L(arc IM), IM est une ligne brisée convenable (quoique un peu grossière).
Maintenant il nous une majoration, pour cela on projette :
L : M0M1-...-M(n-1)Mn une ligne brisée convenable, on projette les sommets Mi sur IP (Pi) et sur PM (Hi), par l'inégalité triangulaire, on a MiM(i+1)>=PiP(i+1)+HiH(i+1). De plus la condition Mi est entre M(i-1) et M(i+1) assure que somme PiP(i+1)=IP et somme HiH(i+1)=PM. On a donc Longueur de L<=IP+PM, et en passant à la borne supérieure L(arc IM)<=IP+PM.
Ainsi IM<=L(arc IM)<=IP+PM
On peut utiliser la paramétrisation pour montrer que PM/IP tend vers 0 et que IM/IP tend vers 1 quand x tend vers 0.
On aboutit à IM/IP<=L(arc IM)/IP<=1+PM/IP, et on conclue par le théorème de l'encadrement que x/sin(x) tend vers 1 ce qui est équivalent à sin(x)/x tend vers 1.

[b@z66]

C'est ce qu'on appelle une démonstration vraiment rigoureuse !!!

Merci à homotopie pour cette explication pour le moins complète !! Personnellement, j' avais essayé de présenter une approche un peu naïve en quelques mots mais il faut reconnaitre qu'une approche vraiment complète est beaucoup plus satisfaisante.

[invite4ef352d8]

Salut Homotopie :


je n'ai pas encor bien lu toute ta démonstration. mais pour moi les "propriété géométrique" de sinus et cosinus découle de la définition de l'angle !

en effet, on ma définit l'angle orienté entre deux vecteur comme etant l'unique x (modulo 2pi) telle que
AB.AC=cos(x)*|AB|*|Ac|
det(AB,AC)=sin(x)*|AB|*|AC|


du coup les proprété géométrique de sinus et cosinus sont totalement évidente...

ce que je ne saisit pas bien dans ta démonstration, c'est comment tu définit l'angle ?

[invite986312212]

en général on définit un angle non orienté par la longueur de l'arc de cercle (de rayon 1) sous-tendu.

[invite35452583]

ce que je ne saisit pas bien dans ta démonstration, c'est comment tu définit l'angle ?

Peut-être parce que dans "ma démo" je n'utilise pas la notion d'angle.
En résumé ce que j'ai rappelé est :
on a plusieurs définitions de cosinus et sinus dont celles-ci:
i) cos(x)=Re(e^ix) sin(x)=Im(e^ix), j'ai laissé en plan la définition de l'exponentielle complexe qui elle aussi en admet plusieurs équivalentes, (unique solution de y'=y y(0)=1 ; unique morphisme de (C,+) dans (C,x) C-dérivable en 0 et y'(0)=1 ; définition par définissant alors cos et sin par un autre biais ; définition par série entière...) de fait je me suis contenté de cosinus et sinus sont égaux aux séries entières qui vont bien.
ii) sinus unique solution de y"=-y y(0)=0 y'(0)=1, cosinus unique solution de y"=-y, y(0)=1 y'(0)=0
iii) cosinus et sinus sont les composées d'une application d'enroulement (ce qui implique la notion de longueur d'arc) et d'une projection.
Souvent ce qui peuvent comprendre i) et ii) ( iii) est même vue avant, TleS)) n'ont pas grande difficulté à montrer l'équivalence entre i) et ii), j'ai donc laissé ces démos.
Maintenant bien souvent certains se posent la question "pourquoi sin'=cos ? " ou équivalent ou similaire, à partir d'une définition géométrique (donc +/- la iii)) et on répond en utilisant i) ou ii). Pour ma part je considère que ce n'est pas vraiment répondre à la question car pour utiliser i) ou ii) pour répondre à la question plus explicie "pourquoi la définition de la fonction sinus définie par iii) vérifie sin(x)/x tend vers 1 quand x tend vers 0 ?", l'utilisation des déf i) ou ii) nécessitent que l'équivalence entre ces définitions soit faite, et ceci est un peu plus délicat.
J'ai donc donné (rapidement) une idée de comment on peut montrer que les fonctions définies par i) ou ii) vérifie la définition iii). (ce qui serait suffisant en soi pour l'équivalence des définitions)
J'ai donné moins rapidement une preuve (quasi-complète car le cas x<0 est aisée à faire) de la fonction sinus définie par iii) vérifie sin(x)/x tend vers 1 quand x tend vers 0 et une idée de comment ensuite on montre qu'elle vérifie ii) et comment sa soeur jumelle aussi.
J'aurais pu aussi donner une idée de pourquoi la définition de longueur donnée par l'intégrale et celle par les lignes brisées sous-tendues sont équivalentes mais ce n'est pas très difficile (du moins pour Bac+2 ou plus)
Mais à aucun moment, je n'ai utilisé d'angle, x est une variable réelle, et ne revête aucune autre signification pour i) et ii), revêt une longueur dans iii) mais dans ce que j'ai fait je n'ai pas utilisé la définition possible pour la mesure d'un angle donné par Ambrosio.

Maintenant, pour la mesure d'angle, il y a aussi équivalence entre plusieurs définitions possibles :
i) deux secteurs angulaires (càd la donnée de deux demi-droites) ont même mesure si ils sont images l'un de l'autre par une isométrie (pour l'instant c'est une classe d'équivalence). On dit de deux angles sont dans un rapport p, q si pxmesure de l'un= qxmesure de l'autre (pxmesure d'un angle=mesure d'un angle que font p secteurs angulaires accolés comme il faut, propriété : ceci est indépendant de la manière de faire ses accolements). On peut attribuer un réel à un angle plein (2pi radians, 360°, 400gr, 1,...), on peut alors attribuer aux angles commesurables avec l'angle plein un réel respectant le rapport avec l'angle plein (un angle de 60° est un angle dont la mesure est en rapport 1/6 avec le plein), pour les autres on peut aussi par densité des mesures des angles commesurables. c'est très long (et encore j'ai mis de côté plusieurs difficultés) mais c'est à peu près ainsi que c'est défini (du moins implicitement, heureusement pour les gamins et gamines ) en collège.
ii) la définition rappelée par Ambrosio (qui privilégie donc le radian, ce qui a réellement imposer le radian est y"=-1 y) (définition plutôt lycée, surtout Tle S)
iii) la définition que tu as rappelée (donnée post-bac)
Tout ceci est équivalent (c'est assez facile, la longueur est conservée par isomtrie car la longuer des lignes brisées sous-tendues le sont, après ii respecte les notions de rapport donc OK entre i) et ii), l'équivalence avec iii) n'est pas difficile non plus mais... cf ci-après)

Dernière remarque, la définition que tu donnes peut être utilisée pour définir la mesure d'un angle (si cos et sin sont définis par ailleurs) ou pour définir cos et sinus (si la mesure d'angle est donnée par ailleurs). Mais tout ceci est toujours équivalent (ouf ! ).

[b@z66]

Je suis peut-etre bête, mais je ne comprend pas...

Pour cela, je vais me réexpliquer: la tangente au cercle trigonométrique qui passe par le point du cercle correspondant à l'angle "0" est perpendiculaire au rayon du cercle passant par ce même point: l'axe des cos. Comme l'axe des cos est perpendiculaire à l'axe des sin, la tangente au point du cercle correspondant à l'angle 0 est donc perpendiculaire à l'axe des sin. Toutefois, comme la tangente au cercle est en fait une approximation qui correspond au développement limité au premier ordre de l'équation du cercle autour de ce point(cela est donc vrai pour la dérivée première, la même chose ne doit sans doute pas l'être pour la dérivée seconde), cela veut dire que la projection d'un point du cercle autour de l'angle 0 est équivalente qu'elle soit faite sur l'axe des sinus ou sur la tangente (qui correspond à l'équation du cercle jusqu'au premier ordre). Cela veut donc dire qu'une variation (x) autour du point de l'angle 0 sur le cercle est égale à la variation correspondante sur la tangente en ce même point ainsi que celle correspondante sur l'axe des sin (sin x). D'où sinx/x=1 autour de l'angle 0. Pour moi, c'est l'interprétation géométrique que j'utilise.

[stefjm]

Bonjour,
Une réponse intéressante.

http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post4353560

[invite33c0645d]

J'ai bien fait de lire le forum en entier j'étais en train de rédiger dans ma tête une réponse de 10 pages qui ont été plus ou moins déjà traitées

Merci ^^