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Dérivée, cosinus sinus Dm aide...




  1. #1
    Cloud54

    Dérivée, cosinus sinus Dm aide...

    Bonjours à tous, voilà je suis en Terminale SI et plutôt mauvais en maths (heureusement qu'il y a la physique, la SI et l'anglais ) enfin je m'éloigne du sujet, j'ai un dm pour vendredi et donc je pense avoir trouver quelques réponses (en tout cas j'espere! =) )
    Voilà l'énoncé :
    1) On désigne par g la fonction définie sur [0;pi] par : g(x) = x cosx - sinx
    a) Etudiez les variations de g et dressez son tableau de variations.
    b) Déduisez en le signe de g(x) sur [0;pi]

    2) Soit f la fonction de la variable réelle x définie sur [0;pi] par :
    f(x)=sinx/x si 0<x<ou égal pi et f(0) = 1
    Etudiez les variations de f sur ]0;pi]

    3) (celle que j'ai mieux réussi je trouve)
    le but de cette question est d'étudier la dérivabilité de f en x = 0
    x>ou égal à 0, 0<ou égal x-sinx<ou égal x^3/6
    Pour cela on introduira la fonction FI définie sur [0;+infini[ par :
    FI(x)= sinx-x+ x^3/6
    On calculera Fi'(x), FI''(x) et FI'''(x) et on en déduira le signe de FI

    Voilà ce que j'ai trouvé :
    1a) donc pour étudier les variations de g et dressez son tableau de variation, si j'ai bien compris, calculer sa dérivée que je pense avoir trouvée :
    g(x)= xcosx-sinx
    g'(x) = -sinx -cosx

    Donc ensuite le tableau de variation bah je bloque déjà (oui je suis très mauvais)

    et pour la b) je bloque aussi !!!

    Pour la 2) je m'embrouille pas mal à cause du f(0)=1 et du x compris entre 0 et pi!

    bon la 3) j'ai assez bien compris je pense :
    donc j'ai calculé :
    Fi'(x)=cosx-1+x²/2
    Fi''(x)=-sinx+x
    Fi'''(x)=-cosx+1

    Donc de la j'en est déduit une chose :
    -cos(x)>-1 donc -cos(x)+1>0

    FI''' est positive donc FI'' croît.
    De plus FI''(0)=0 donc comme FI'' croît, pour tout x plus grand que 0, FI''(x) > FI''(0) c'est à dire FI''(x) > 0 donc FI'' est positive et par conséquent FI' croît.
    Par analogie :
    FI'(0)=0 et FI' croissante donc pour tout x plus grand que 0 FI'(x)>FI'(0) donc FI'(x)>0 . FI' est positive donc f croît.
    FI(0)=0 et FI croissante donc pout tout x plus grand que 0 FI(x)> FI(0) soit FI(x) > 0

    Et ensuite je bloque je n'arrive pas à répondre à la question pourvez que pour tout réel x,
    x>ou égal à 0, 0<ou égal x-sinx<ou égal à x^3/6

    Merci d'avance pour l'aide que vous pourrez peut être m'apporter!

    -----


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  3. #2
    Tonton Nano

    Re : Dérivée, cosinus sinus Dm aide...

    Bonjour,

    Ta dérivée de g est fausse. Tu as un produit puis une somme.

    la dérivée de x cos(x) est ...
    celle de -sin(x) est ...
    la somme donne ... ?

  4. #3
    pi-r2

    Re : Dérivée, cosinus sinus Dm aide...

    déjà la dérivée de g(x) = x cosx - sinx que tu as calculée est fausse. (xcosx)'=(x)'cosx+ x(cos x)'=cos x - x sin x
    ce qui simplifie l'étude du signe de g'
    Les bonnes idées triomphent toujours... C'est à cela qu'on reconnait qu'elles étaient bonnes !


  5. #4
    Cloud54

    Re : Dérivée, cosinus sinus Dm aide...

    Ahh d'accord, donc si je me souviens bien, g(x) = x cosx - sinx
    comme tu l'as dit pi-r2 (xcosx)' = cos x - x sin x
    et comme la dérivée de sinx=cos x alors :
    g'(x) = x cosx - sinx - cosx
    C'est bien ca? (merci pour votre aide ^^) mais je réfléchit et pour le tableau de variation je trouve toujours pas pourtant la j'ai mes cours juste devant les yeux
    en tout cas merci pour votre aide c'est sympa de m'aider

  6. #5
    Tonton Nano

    Re : Dérivée, cosinus sinus Dm aide...

    Citation Envoyé par Cloud54 Voir le message
    (xcosx)' = cos x - x sin x
    (sinx)'=cos x alors :
    g'(x) = x cosx - sinx - cosx
    Whoa ... attention !
    cos x - x sin x - cos x ca ne fait pas x cosx - sinx -cosx

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Cloud54

    Re : Dérivée, cosinus sinus Dm aide...

    Ou la oui :O heureusement que tu es la, oui tu as raison j'avais pas vu ma faute, oui hmm donc
    g'(x) = cos x - x sin x - cosx
    ou la c'est pas vrai!!! les fautes que je fais

  9. #7
    Tonton Nano

    Re : Dérivée, cosinus sinus Dm aide...

    Citation Envoyé par Cloud54 Voir le message
    g'(x) = cos x - x sin x - cosx
    Ouais ... on peut simplifier un peu non ?

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  11. #8
    Cloud54

    Re : Dérivée, cosinus sinus Dm aide...

    Non... j'plaisante =) euu oui donc
    g'(x) = cos x - x sin x - cosx
    g'(x) = - x sin x

    donc ils disent étudiez les variations de g et dressez son tableau de variation, mais pour étudier les variations de g, il faut dresser son tableau de variation non? ou il y a autre chose à faire avant?

  12. #9
    bueno

    Re : Dérivée, cosinus sinus Dm aide...

    tableau de signe de g'(x)

  13. #10
    Tonton Nano

    Re : Dérivée, cosinus sinus Dm aide...

    Non je ne pense pas ...
    Tu peux mettre le signe de g' et les variations de g avec les valeurs en 0 et pi.

  14. #11
    Cloud54

    Re : Dérivée, cosinus sinus Dm aide...

    d'accord donc je pense que le tableau de variation doit donner ça :
    http://img510.imageshack.us/img510/8...riationva7.jpg
    Donc la je dis pour la 1a) que g est strictement décroissant sur [0;pi] d'après le tableau de variation (ca suffit? )
    et pour la 1b) j'en déduit d'après le tableau de variation établit dans le 1a) g(x)=0 lorsque x=0 et ensuite sur ]0;pi] g(x) est strictement négatif et ca suffit aussi ? (si c'est ca merci beaucoup =D parce que j'ai compris )

  15. #12
    Tonton Nano

    Re : Dérivée, cosinus sinus Dm aide...

    Citation Envoyé par Cloud54 Voir le message
    g est strictement décroissant sur [0;pi] d'après le tableau de variation (ca suffit? )
    Oui mais il faudrait la "vrai" la valeur de g en pi.

    Pour le b), c'est bon aussi. Tu peux dire que g est décroissante sur l'intervalle et que son maximum est 0 donc qu'elle est négative.

  16. #13
    Cloud54

    Re : Dérivée, cosinus sinus Dm aide...

    Ahh d'accord ah oui formuler comme ça, c'est mieux =D merci !!!
    Pour le 2) j'ai compris aussi je pense, il faut encore dérivé f(x)
    donc comme f(x) = sinx/x alors f' = u'v-uv'/v²
    donc u(x) = sinx alors u'(x) = cosx et v(x) = x donc v'(x) = 1 d'où
    f'(x) = cosx(x) - sinx/ x²
    f'(x) = cosx² - sinx / x²

    mais pour le cosx² je suis pas sur si c'est cosx² ou cos²x je ne me souviens plus trop =S
    Donc d'après la dérivée le tableau de variation est assez simple a faire f est croissant sur ]0;pi] enfin je pense! mais f(0)=1 je ne sais pas a quoi ca peut servir dans l'énoncé...
    je dois aller manger je reviens après, si vous n'êtes plus là après je vous remercie pour toute votre aide !!

  17. #14
    Tonton Nano

    Re : Dérivée, cosinus sinus Dm aide...

    Citation Envoyé par Cloud54 Voir le message
    f'(x) = cosx(x) - sinx/ x²
    f'(x) = cosx² - sinx / x²
    Attention aux parenthèses ! le x² est le dénominateur de tout le reste !
    La seconde ligne est fausse (et inutile). Si tu regardes le numérateur, ca devrait te rappeler quelque chose ...

    Du coup, le reste est faux ...

    f(0) = 1 est utile pour définir la fonction en 0 parce que sinon, on a une valeur interdite.

  18. #15
    Cloud54

    Re : Dérivée, cosinus sinus Dm aide...

    Ah oui =S d'accord je vois mmhh donc je recommence tout ca!
    Bon alors je pense que les u' et v' sont juste déjà mmhhh
    donc u(x) = sinx alors u'(x) = cosx et v(x) = x donc v'(x) = 1 d'où
    f'(x) = ((cosx)(x) - (sinx)(1)) / x²
    ahhh oui ca y'est, je crois que j'ai trouvé ma faute donc :
    f'(x) = g(x) / x² comme g(x) = xcosx-sinx c'est bien ca ? =D

  19. #16
    Tonton Nano

    Re : Dérivée, cosinus sinus Dm aide...

    Citation Envoyé par Cloud54 Voir le message
    f'(x) = g(x) / x² comme g(x) = xcosx-sinx c'est bien ca ? =D
    Impeccable !

    Donc le signe de f' ...?

  20. #17
    Cloud54

    Re : Dérivée, cosinus sinus Dm aide...

    Ahh merci =D !!
    Donc je ferai un tableau de variation, et ensuite je pourrais dire que f' a le même signe que g(x) puisque le numérateur de f'(x) est g(x) donc les variations de f sur ]0;pi] seront les même que pour g(x) donc strictement décroissante sur cet intervalle avec un maximum d'un peu moins de 1 puisque 0 est exclu de l'ensemble de définition ]0;Pi] c'est bien ca? =P

  21. #18
    Tonton Nano

    Re : Dérivée, cosinus sinus Dm aide...

    Citation Envoyé par Cloud54 Voir le message
    puisque le numérateur de f'(x) est g(x)
    ... et que le dénominateur est toujours positif !

    et le maximum c'est 1, pour x = 0.
    Quel est le minimum ?

  22. #19
    Cloud54

    Re : Dérivée, cosinus sinus Dm aide...

    Ahh oui d'accord ahh j'avais oublié ça et donc oui que le maximum est de 1 pour x=0 et que le minimum est de 0.17 pour x=pi d'accord d'accord! =D j'ai compris, merci merci !!!!!!

    Je t'embète encore juste 10 minutes, pour la troisième question enfin si tu veux bien, bien évidemment =) :
    Donc j'ai presque fini comme je l'est mis au dessus :
    Fi'(x)=cosx-1+x²/2
    Fi''(x)=-sinx+x
    Fi'''(x)=-cosx+1

    Donc de la j'en est déduit une chose :
    -cos(x)>-1 donc -cos(x)+1>0

    FI''' est positive donc FI'' croît.
    De plus FI''(0)=0 donc comme FI'' croît, pour tout x plus grand que 0, FI''(x) > FI''(0) c'est à dire FI''(x) > 0 donc FI'' est positive et par conséquent FI' croît.
    Par analogie :
    FI'(0)=0 et FI' croissante donc pour tout x plus grand que 0 FI'(x)>FI'(0) donc FI'(x)>0 . FI' est positive donc f croît.
    FI(0)=0 et FI croissante donc pout tout x plus grand que 0 FI(x)> FI(0) soit FI(x) > 0

    donc j'ai le signe de FI mais il faut prouver que pour tout réel x,
    x>ou égal a 0, 0< ou égal x-sinx< ou égal x^3/6
    et c'est là je n'est pas du tout de raisonnement pour le prouver =S est ce que tu pourrais m'aider juste une dernière fois, c'est la dernière chose a faire ?
    merci d'avance même si tu refuses ^^

  23. #20
    Tonton Nano

    Re : Dérivée, cosinus sinus Dm aide...

    Citation Envoyé par Cloud54 Voir le message
    le minimum est de 0.17 pour x=pi
    Qu'est-ce que c'est que ce 0.17 ? f(pi) ne vaut pas 0.17 (et même si c'était le cas, on voudrait une valeur exacte).

    Citation Envoyé par Cloud54 Voir le message
    Je t'embète encore juste 10 minutes
    Si tu m'embêtais, je répondrais pas !!!!


    Les trois dérivées sont bonnes.

    Citation Envoyé par Cloud54 Voir le message
    -cos(x)>-1 donc -cos(x)+1>0
    supérieur ou égal ... par exemple : -cos(0) +1 = 0

    Le signe de Fi est bon. Impeccable.

    Pour la suite :
    x >= 0 : ca tombe bien ! c'est notre domaine d'étude depuis la question précédente !

    Tu as déjà montré que x - sinx est positif sur ce domaine.

  24. #21
    Cloud54

    Re : Dérivée, cosinus sinus Dm aide...

    Ah non je me suis trompé =D j'ai oublié un zéro nan le minimum est de f(pi) = 0.017
    mmhhh pour la question 3) par contre j'ai beau cherché, je trouve pas trop =S j'ai un peu de mal, pourtant je suis sur qu'il doit pas rester beaucoup de chose =P le signe de FI doit surement nous servir a quelque chose mais la franchement =S

  25. #22
    Tonton Nano

    Re : Dérivée, cosinus sinus Dm aide...

    J'ai pas finit de répondre ... désolé ...

    On sait déjà (signe de FI'') que 0 <= x - sinx
    et on connait le signe de FI donc
    sinx - x + x^3/6 >= 0

    On peut multiplier cette dernière inégalité par -1 (attention au sens !) et passer le x^3/6 à droite ...

  26. #23
    Tonton Nano

    Re : Dérivée, cosinus sinus Dm aide...

    Citation Envoyé par Cloud54 Voir le message
    f(pi) = 0.017
    NON !
    Si tu trouves ca comme ca, il faut m'expliquer. f(pi) = sin(pi) / pi
    Ca vaut combien sin(pi) ?

  27. #24
    Cloud54

    Re : Dérivée, cosinus sinus Dm aide...

    Ohhh!!! ok j'ai compris pour le 3)!!!! d'accord mais on a le droit de multiplier par -1, comme ça?
    euu oui pour F(pi)=sin(pi)/(pi)
    donc sin(pi)=0.054
    et donc f(pi) = 0.054/Pi = 0.017 c'est pour ca ^^ enfin j'ai peut être faux!

  28. #25
    Tonton Nano

    Re : Dérivée, cosinus sinus Dm aide...

    Citation Envoyé par Cloud54 Voir le message
    Ohhh!!! ok j'ai compris pour le 3)!!!! d'accord mais on a le droit de multiplier par -1, comme ça?
    euu oui pour F(pi)=sin(pi)/(pi)
    donc sin(pi)=0.054
    et donc f(pi) = 0.054/Pi = 0.017 c'est pour ca ^^ enfin j'ai peut être faux!
    Ouille ouille ouille ...
    sin(pi) sans calculatrice, ca fait combien ? (PS : ta calculatrice est en degré, pas en radian !).



    Tu as le droit de multiplier par -1 mais comme c'est négatif, il faut changer le sens de l'inégalité.

  29. #26
    Cloud54

    Re : Dérivée, cosinus sinus Dm aide...

    Ahh d'accord, merci pour le -1 =D ca fait que le 3) est fini!!!!!! :O merciii!!!
    pour en revenir au sin(pi) tu avais raison =D ma calculatrice était bien en degrès oui donc en fait ca donne 0 donc le minimum est de 0 ^_^ c'est bien ca?

  30. #27
    Tonton Nano

    Re : Dérivée, cosinus sinus Dm aide...

    Citation Envoyé par Cloud54 Voir le message
    ca donne 0 donc le minimum est de 0 ^_^ c'est bien ca?
    Oui c'est bon. Bravo !

  31. #28
    Cloud54

    Re : Dérivée, cosinus sinus Dm aide...

    Ahhh merciiiii!!!! ah franchement en plus j'ai tout compris!!! merci beaucoup je sais pas comment te remercier!!! merci beaucoup beaucoup!!! =D j'recopierai tout ca demain encore merci!!!! =)

  32. #29
    Tonton Nano

    Re : Dérivée, cosinus sinus Dm aide...

    Ya pas de quoi !

    ... mais ya pas école demain ? Qu'est-ce que c'est que cette jeunesse qui ne fout rien ? ... de mon temps ...

  33. #30
    Cloud54

    Re : Dérivée, cosinus sinus Dm aide...

    Si si =D t'inquietes pas j'ai 8 heures de cours demain -_-' =) mais après les cours comme j'ai fait tout mes devoirs pour la semaine j'aurai que ca à faire ^_^

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