Bijection
Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 5 sur 5

Bijection



  1. #1
    invitec859637e

    Bijection


    ------

    Salut à tous !

    Je me posais la question suivante, qui parait toute bête (mais justement je me méfie ) :
    Soient A et B deux ensembles quelconques. S'il existe une injection de A dans B et une injection de B dans A existe-t-il une bijection entre A et B ?

    Avec un ami on a cherché un petit moment cette après-midi sans trouver grand chose ...

    -----

  2. #2
    invitec053041c

    Re : Bijection

    Bonsoir.

    La réponse est oui. Si les 2 ensembles sont finis, cela se montre assez rapidement.
    En revanche, pour des ensembles quelconques (dans le cas général), il est normal que vous ayez cherché très longtemps pour une démonstration générale, car cela fait l'objet d'un théorème: le théorème de Cantor-Bernstein.

    Et il n'est pas du tout trivial à démontrer ; il faut utiliser une technique de "rebondissements" entre les 2 ensembles, je ne saurais la faire de tête sans revoir la démonstration plusieurs fois !


    Si cela t'intéresse, va voir ceci:

    http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...ntor-Bernstein


    Cordialement.

  3. #3
    invitec859637e

    Re : Bijection

    Citation Envoyé par Ledescat Voir le message
    Si les 2 ensembles sont finis, cela se montre assez rapidement.
    Oui, ça ça va quand même, je t'en prie

    Ok, ça me rassure alors.
    Merci pour le lien, je vais regarder ça

  4. #4
    Theyggdrazil

    Re : Bijection

    J'ouvre d'ailleurs une petite parenthèse assez intéressante, sous certaines conditions, le théorème de Cantor-Bernstein se généralise à d'autres relations d'équivalence que l'équipotence :

    Soit une relation d'équivalence dans l'ensemble des parties d'un ensemble quelconque X vérifiant les conditions suivantes :

    1) Si A B, il existe une bijection telle que pour tout sous-ensemble C de A.

    2) Si et , et si , alors .

    Dans ce cas, si A est équivalent à une partie de B et si B est équivalent à une partie de A$, alors A est équivalent à B (modulo ).
    Dernière modification par Theyggdrazil ; 04/10/2007 à 23h37. Motif: latex
    "Toute connaissance accessible doit être atteinte par des voies scientifiques" (B. Russell)

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Theyggdrazil

    Re : Bijection

    D'ailleurs, ce théorème plus général est (bizarrement !) plus facile à montrer que Cantor-Bernstein (qui en est un corollaire presque direct !) à mon goût ^^

    Edit : je vais me pendre, tout ce que j'ai dit est sur la page wikipédia :S désolé, ça m'apprendre à lire les liens jusqu'au bout
    "Toute connaissance accessible doit être atteinte par des voies scientifiques" (B. Russell)

Discussions similaires

  1. bijection de xe^x
    Par invite7be01fc0 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 9
    Dernier message: 22/01/2013, 18h56
  2. [TS] Bijection
    Par invite72ea9d3f dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 1
    Dernier message: 27/09/2007, 10h49
  3. Bijection
    Par invite02959114 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 3
    Dernier message: 15/09/2007, 14h35
  4. bijection
    Par invitee33d974a dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 4
    Dernier message: 01/01/2007, 10h05
  5. bijection
    Par ketchupi dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 3
    Dernier message: 22/08/2006, 20h16