Bijection

[invite02959114]

Bonjour tout le monde !
Voici la fonction : soit f(x)= -ln((1/x)-1)

j'hésite pour une question qui est démontrer que f établit une bijection de D sur un intervalle A que l'on précisera. J'aimerais savoir si pour la 2e condition qui permet de dire que la fonction est bijective à savoir sur la monotonie, on doit forcément dériver la fonction ou bien on peut utiliser le fait qu'il s'agit d'une composée de fonctions et donc on s'occupe de la monotonie de chaque fonction sur D et enfin déduire celle de f. J'ai un souci je trouve pour la dérivée de f, f'(x)=1/(-x²+x) donc f est décroissante [0, +inf[ ce qui est en contradiction avec mon second raisonnement et cela m'empeche de répondre à la question suivante qui est Montrer que pr tt x€ D, f'(x)supérieur ou égal à 4, déduisez que g est dérivable sur A.
Merci de m'indiquer.
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[invited5b2473a]

Ca marche avec la dérivée.

[Médiat]

J'aimerais savoir si pour la 2e condition qui permet de dire que la fonction est bijective à savoir sur la monotonie, on doit forcément dériver la fonction ou bien on peut utiliser le fait qu'il s'agit d'une composée de fonctions et donc on s'occupe de la monotonie de chaque fonction sur D

Attention la composée de deux fonctions monotones croissantes sur un intervalle D n'est pas forcément monotone croissante sur D.

silahkan

[invite35452583]

Bonjour tout le monde !
Voici la fonction : soit f(x)= -ln((1/x)-1)
[...]
J'ai un souci je trouve pour la dérivée de f, f'(x)=1/(-x²+x) donc f est décroissante [0, +inf[

f ne peut pas être décroissante (ou croissante ou minorée ou...) sur [0,+inf[, pour cela il faudrait qu'elle soit définie sur cet intervalle (que vaut f(2) ? )
Maintenant, sur le domaine de définition de f, f'>0 (si, si !). La contradiction dont tu parles n'a donc plus lieu d'exister.
Maintenant que D est réduit il n'est pas difficile de montrer que le min(f')=4.

Par contre, si on a deux fonctions réelles f:I->J g:J->K alors
1) f croissante sur I, g croissante sur J => gof croissante sur I
2) f croissante sur I, g décroissante sur J => gof décroissante sur I
3) f décroissante sur I, g croissante sur J => gof décroissante sur I
4) f décroissante sur I, g décroissante sur J => gof croissante sur I
En résumé, g et f monotones=>gof monotone
Preuve il suffit de l'écrire soient x<y...
Tu peux donc montrer la croissance de f par ce biais (point 4), cette méhode permet de soulager au niveau calcul parfois mais comme ici des questions directes sont posées sur la dérivée (son minimum notamment) mieux vaut passer par la dérivée.

[A voir en vidéo sur Futura]