logarithme MPSI

[inviteb5ac7efd]

Bonjour , j'ai une démonstration à faire il s'agit de montrer que :

Si f est continue sur R*+ et vérifié pour tout x et tout y de R*+
f(xy) = f(x) + f(y)
Alors il existe un k appartenant à R tel que f(X) = k*ln(X)

Je ne sais pas si f est dérivable , ce qui est bien un problème , je suis très restrinct dans l'utilisation des outils que j'ai appris en terminale , je n'ai pas le droit d'utiliser l'exponentielle par exemple (quoique je pourrais éventuellement la construire sur place en la presentant comme la réciproque de ln étant donné que celle-ci est bijective sur son intervalle).

Enfin voilà si quelqu'un aurait l'aimabilité de m'aider je lui en serais très reconnaissant.
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[invitec053041c]

Bonjour.

Bien-sûr que tu as le droit d'utiliser l'exponentielle, pourquoi tu ne pourrais pas ?

Pose pour tout x réel: g(x)=exp(f(x))

Et essaye de démontrer que g(x) est de la forme x^(k) avec k réel.

Indication: montre que g(n) vérifie cela pour tout n appartenant à N, puis pour tout m appartenant à Z, puis pour tout r appartenant à Q, puis (étape plus subtile utilisant la continuité) pour tout x appartenant à IR.

Bon courage.

[inviteb5ac7efd]

Je ne peux pas utiliser cette pauvre exponentielle puisque je ne l'ai pas vu en cours cette année et notre prof ne veut pas que nous utilisions nos résultats de terminales (non démontrés selon lui et je crois qu'il a raison).Mais je vais quand même construire l'exponentielle je vais l'appeler d'un nom quelconque , dire que c'est la réciproque de ln et je vais essayer d'utiliser l'indication que tu m'as donné.

[invitec053041c]

Non mais l'exponentielle fait partie des fonctions incontournables. Dans ce cas tu peux faire le borné et dire: c'est quoi ln ? Je l'ai vu en TS mais comme mon prof m'a dit de tout oublier ce qu'on y a fait, je dois donc reconstruire le ln (par intégrale ou autre).

Il faudrait arrêter de caricaturer et de faire passer la TS pour une récréation inutile où tout ce qu'on y apprend est faux. Les profs de sup qui ont ce genre de réflexion sont détestables.
Réfuter tout ce qu'on a vu avant relève du ridicule, voire de la prétention.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb5ac7efd]

justement ln on l'a reconstruit en cours aujourd'hui... Enfin bref je suis d'accord avec toi mais que veux-tu, je ne peux que suivre les instructions qu'on me donne.

[invitec053041c]

Dans ce cas là:

Tu ne peux pas manipuler les réels, à moins que vous ayez vu la construction des réels par suites de Cauchy ou autre.
Tu ne peux pas manipuler les entiers naturels, à moins que vous ayez vu sa construction par les axiomes de Péano ou autre.
Tu ne peux pas manipuler les rationnels car tu n'as pas vu leur construction par classe d'équivalences par exemple.
Vous n'avez, j'imagine, pas défini l'addition, la multiplication etc...

On n'en finit plus.

L'utilisation de l'exponentielle est du moins très utile, sinon presque nécéssaire.

[inviteb5ac7efd]

Arf je crois que je n'y arrives toujours pas même en utilisant exponentielle...

[invitec053041c]

As-tu suivi mon indication ?
ie le montrer sur IN, puis IZ, puis IQ? puis IR ?

[inviteb5ac7efd]

En fait je ne vois d'où l'on tirre l'avantage de travailler sur N pour prouver
exp(f(n)) = n^k

[inviteb5ac7efd]

récurrence ?

[invitec053041c]

récurrence ?

Sans l'ombre d'un doute !

[invitefc60305c]

Pour le passage de Q à R, il faut utiliser le fait que Q est dense dans R.