Logarithme !

[invite05f747f9]

Bonjour à vous tous futura-scientifique...

Etant élève de première S et me posant beaucoup de questions, cela m'embête quand ma prof' de maths nous explique que telle équation ne pourra la résoudre que l'année prochaine et qu'elle ne veut pas nous expliquer les logarithmes .

Alors je me tourne vers vous !
Même si on trouve facilement des explications sur les logarithmes sur le net, j'aimerais une interprétation plus personnelle de la question.

Et un petit exemple à l'appui, une équation qui utilise (simplement) les logarithmes.
(petite précision, je parle du logarithme népérien noté ln, je ne sais pas s'il y a une différence ou s'il existe un autre logarithme mais on ne sais jamais

D'avance merci

Alpha Gamma
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[invite4793db90]

Salut,

si a et p sont positifs, l'équation admet une unique solution (dans IR) : c'est le logarithme en base a de x, noté .

Par exemple l'équation admet pour solution .

Il existe un logarithme particulier, le logarithme népérien, et on peut calculer les logarithmes dans toutes les autres bases à partir de celui-ci : .

Cordialement.

[curieuxdenature]

Bonjour,

il y a beaucoup à dire sur les log.
je peux te donner ça:

le log de 1000 est 3, et le log de 10000 est 4, si on multiplie 1000 * 10 000 on a 10 000 000 soit 7 zéros,
son log est donc 7 car 10 000 000 = 10^7.
avec les log, l'addition, bien plus facile à manier que la multiplication facilite vraiment les calculs.

A l'inverse si tu as un log nommé 4,35 tu retrouves l'origine en calculant 10^4,35.
Tu constates aussi, simplement en visualisant un log donné, à quelle rang il appartient, ex: si je te dis 2,06069784 d'emblée tu sais que c'est plus que 100 car il y a le nombre 2 en tête.
Si je te dis 9,14612 tu sais que c'est plus que 1 milliard, à cause du 9 de 10^9.

je ne sais pas si cela te parles ou si tu le sais déjà...

[Bleyblue]

Salut,

Je vais essayer de faire un résumé, ça ne sera pas parfait mais j'espère que ça te sera néanmoins utile

Je pense qu'il est plus simple de partir d'abord de la définition de l'exponentielle.

Voici une fonction f :

A tout nombre réel x cette fonction lui associe 2 exposant ce nombre.
On définit alors la fonction logarithme en base 2 qui est la réciproque cette dernière :



Ici j'ai utilisé la base 2 mais tu peux prendre nimporte quel nombre réel positif différent de 1.

En fait le logarithme en base a d'un nombre c'est la puissance à laquelle il faut élever la base pour trouver celui ci.

Ex :

car 10² = 100

car pour tout réel strictement positif a, a¹ = a

La fonction logarithme néperien est noté ln et c'est synonyme de logarithme en base e (e étant un nombre irrationel, e = 2,7182818284 ...)

Cette base à ceci de particulier que la dérivée de la fonction e^x est égale à elle même ce qui est remarquable mais tu ne connais pas encore les dérivées je suppose ...

EDIT : Croisement avec curieuxdenature et martini

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bleyblue]

En fait martini_bird à expliquer la même chose que moi mais de manière beaucoup plus simple et concise

Mais lui il est enseignant alors forcément il a l'habitute

[invite05f747f9]

Je commence à comprendre, il y a simplement la notion de base que je n'arrive pas à cerner ...

Et sur la calculatrice, ça se tape comment log₂5

[Bleyblue]

Comme martini_bird a dit tu peux tout faire avec le ln, donc log₂ 5 ça vaut ln5/ln2 (tu n'as plus qu'a trouver la touche ln)

Sinon pour la notion de base tu la connais depuis longtemps normalement :

Dans la puissance 5², 5 est la base, 2 est l'exposant

[invite05f747f9]

Dans la puissance 5², 5 est la base, 2 est l'exposant

Ok tout simplement ! merci

[invitebb921944]

Peut-être pour t'aider à comprendre les bases :

Si je veux écrire le nombre 17 (nombre en base décimal) en base 2, j'écrirai :

17=1*2^4 + 0*2^3 + 0*2^2 + 0*2^1 + 1*2^0

Donc, en base 2, 17 s'écrit 10001

Je peux écrire 17 en base 4 par exemple :

17=1*4^2 + 0*4^1 + 1*4^0
Donc, en base 4, 17 s'écrit 101.

Au cas où tu te poserais la question, un nombre ne peut se décomposer que d'une seule et unique manière dans une base.

[invite05f747f9]

Quelles sont les applications de ces fameux logarithmes ?

Au fait j'ai réussi à résoudre un équation grâce aux logarithmes

[invite4269a991]

écoute ta prof de math, t'en bouffera bien assez l'an prochain des expo, des ln, des log...

[invite4ef352d8]

bonsoir !

euh les bases des logarithme et les bases d'ecritue sont quand meme assez differente, je suis pas sur que sa soit une bonne idee de les melangé.

un autre facon de presenter les choses :

il existe une infinité de logaritme, mais on passe d'un logarithme a l'autre en multipliant par une constante.

la base du logarithme c'est le nombre a (different de 1) tel que log(a) = 1

usuellement on a deux log qui servent :
celui noté ln c'est le logarithme neperien, ou encore le logarithme naturelle en base e = 2.71828... qui est une constante a peu pres aussi utile que Pi en math que tu vera l'anné prochaine...

celui noté Log dit le logarithme decimal, c'est le log en base 10, il sert par exemple beaucoup en chimie.

accesoirement on note aussi lg le log de base 2.

tous les logaritme ou des propriete commune :

ils sont definit sur R+*

log(a*b) = log(a)+log(b)
log(1/a) = -log(a)
log(a^b)= b*log(a)
log(1) = 0
log est croissant si la base est superieur a 1, decroissant sinon

dans le cas ou la base est superieur a 1
log tend vers -oo en 0 et +oo en +oo mais "tres lentement" (comme on te la dit, pour la base 10 log(1000)=3, log(10 000 ) = 4 etc...)

ainsi que la relation qu'on ta donné pour passer d'un base a l'autre.

en math on n'utilise que le log neperien, parceque de toute facon le log en base a s'ecrit ln(x)/ln(a) donc sa sert a rien d'avoir une infinité de fonction la ou une seul suffit .
et le llog neperien a des propriété suplaimentaire utile notement sa derivé (puisque tu a du voir les derivé) : 1/x et tu vera l'anné prochaine qu'il est tres utile d'avoir une fonction dont la derivé est 1/x



par exemple, tu veux ressoudre l'equation 2^x=5, tu passe au log des deux coté : ln(2^x)= ln(5)
x*ln(2) = ln(5)
x=ln(5)/ln(2)

[invite4ef352d8]

"Quelles sont les applications de ces fameux logarithmes ?
" la par contre sa va etre compliqué a expliquer en première.


principalement le fait que sa derivé soit 1/x est fondamental pour le calcule d'integral que tu commencera a voir l'an prochaine.

parfois, (et notement en chimie), il sert a ramener quelque chose qui vari sur de nombreux ordre de grandeur a une echelle plus representable :
tu a une grandeur qui vari de 10^(-4) a 10^(+10) c'est impossible de tracer une courbe qui represente l'ensemble de la fonction (on vera que ce qui est de l'autre de 10^(+10) alors que si on represente son log on a quelque chose qui va de -4 a +10 et la on peut tous voir d'un coup


l'application la plus simple est son origine historique :
Neper a inventé le logaritme dans ce but : tu dispose d'une table de valeur qui donne le logarithme de plein de nombre et qui permet de calculer le log de tous les nombres. tu veux calculer la racine cubique de 234 par exemple... tu cherche le log de 234, tu le divise par 3 et tu obtien un nombre et tu cherche dans ta table le nombre qui cette valeur comme logaritme ! et voila tu sais calcule une racine cubique (de meme pour touts les racines, ou encore la multiplication de tres grand nombres qui devient une additions, plus rapide a executé)

[invite05f747f9]

Vivement l'année prochaine ^^

[invite4ef352d8]

lol j'ai du dire sa tous les ans entre la troisieme et la terminal je crois ^^ (bizarement en sup j'ai arreté... )

[invite6de5f0ac]

Quelles sont les applications de ces fameux logarithmes ?

La règle à calculs !
(eh oui, plus personne ne sait s'en servir, mais j'ai toujours la mienne, qui marche sans piles).

-- françois

[invite4ef352d8]

oui evidement, c'est la version "moderne" des tables de neper sa ^^


"plus personne ne sait s'en servir" j'aurais plutot dit "plus personne ne s'en sert"

mais y a plein de gens qui save encore ce que c'est et meme qui save s'en servire (et meme dans les moins de 20 ans si si !! )

[invite6de5f0ac]

oui evidement, c'est la version "moderne" des tables de neper sa ^^


"plus personne ne sait s'en servir" j'aurais plutot dit "plus personne ne s'en sert"

mais y a plein de gens qui save encore ce que c'est et meme qui save s'en servire (et meme dans les moins de 20 ans si si !! )

OK, mais ça reste une curiosité...

Et si je me souviens bien, les tables de Neper fonctionnaient sans piles aussi, non? (peut-être à la bougie, pour les calculs de nuit).

-- françois

[invite4ef352d8]

ouai les tables de neper a affichage digital on jammais eu beaucoup de succé...

remarque heuresement que sa marchait sans pile... sinon t'imagine si tu tombe en panne de pile au 16e siecle t'es vraiment embeté apres... obligé d'attendre Volta pour pouvoir finit son DM de math c'est tendu quand meme...

[invitec314d025]

"plus personne ne sait s'en servir" j'aurais plutot dit "plus personne ne s'en sert"

mais y a plein de gens qui save encore ce que c'est et meme qui save s'en servire (et meme dans les moins de 20 ans si si !! )

Encore que ...
J'en ai eu une entre les mains avec laquelle on était censé pouvoir calculer tout plein de trucs hyper compliqués et le manuel était presque aussi gros que celui d'une calculatrice

[invite6de5f0ac]

Encore que ...
J'en ai eu une entre les mains avec laquelle on était censé pouvoir calculer tout plein de trucs hyper compliqués et le manuel était presque aussi gros que celui d'une calculatrice

Oui mais ça c'est logique. C'est toujours moins gros qu'un manuel Unix, non?

BTW, le coup des piles, ça me rappelle le gars qui avait inventé le cadran solaire à chiffres fluorescents, pour pouvoir lire l'heure la nuit...

-- françois