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sous espaces vectoriels



  1. #1
    yonyon

    sous espaces vectoriels


    ------

    Bonjour, j'ai un problème avec cet exercice:
    Soit U=(u1,u2,...,un) une famille de vecteurs de K^n qui est muni de sa base canonique (e1,e2,e3,e4). On suppose qu'il existe des salaires a1,...,an tous non nuls tels que:
    u1=a1e1 et pour tout k appartenant à [2,n], uk-akek appartient à vect((e1,...,ek)).
    Montrer que U est une base de E.
    Je ne vois pas vraiment comment m'y prendre,
    par stablité d'un sev par +, j'ai uk appartient à vect((e1,...,ek)), mais je ne sais pas si c'est vraiment utile...
    Merci d'avance pour votre aide

    -----

  2. #2
    fderwelt

    Re : sous espaces vectoriels

    Citation Envoyé par yonyon
    Bonjour, j'ai un problème avec cet exercice:
    Soit U=(u1,u2,...,un) une famille de vecteurs de K^n qui est muni de sa base canonique (e1,e2,e3,e4). On suppose qu'il existe des salaires a1,...,an tous non nuls tels que:
    u1=a1e1 et pour tout k appartenant à [2,n], uk-akek appartient à vect((e1,...,ek)).
    Montrer que U est une base de E.
    Je ne vois pas vraiment comment m'y prendre,
    par stablité d'un sev par +, j'ai uk appartient à vect((e1,...,ek)), mais je ne sais pas si c'est vraiment utile...
    Merci d'avance pour votre aide
    Bonsoir,

    (tiens, il y a encore des gens debout à c't'heure? ou alors tu écris de New York?)

    Je suppose que la "base canonique" de Kn est (e1,...,en) et pas (e1,e2,e3,e4), sinon c'est fichu dès que n>4...

    Regarde la tête de la matrice de changement de base, de (ek) vers (uk) ou le contraire, peu importe. Encore que, on ne sait pas que c'est une matrice de changement de base, hein, c'est justement ce qu'on voudrait prouver...

    Il est évident qu'elle est triangulaire, avec des termes non nuls sur la diagonale, donc elle est inversible, et donc c'est bien une matrice de changement de base. Parce que l'image d'une base par un morphisme inversible est encore une base.

    -- françois

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