sous-espaces vectoriels

[invite0ceebb9d]

Bonsoir,pouvez-vous m'aider à répondre rigoureusement à la deuxième question de cet exercice?
Voici l'exercice en question:
Soient une nespace vectorfiel E sur R et deux sous-espaces vectoriels A et B tels que A n'est pas inclu dans B et B n'est pas inclu dans A.
1)Montrer q'il existe un vecteur x qui appartient à A et qui n'appartient pas à B, et un vecteur y qui appartient à B et qui n'appartient pas à A.
2)Montrer que x +y n'appartient pas à A

Voici comment je procède pour la première question:
1) Si A était réduit au vecteur nul, alors A serait inclut dans B,ce qui est contradictoire:A n'est donc pas réduit au vecteur nul.De plus A n'étant pas inclus dans B, il existe donc un vecteur x qui appartient à A et qui n'appartient pas à B.
Un raisonnement analoge montre qu'il existe un vecteur y de B qui n'appartient pas à A.

2)pour la deuxième question voici comment je me débrouille:
Supposons que x+y était un élément de A, alors (-x)+y le serait .Comme A est un sous espace vectoriel de E, A est stable pour l'addition dans E et l'on dirait donc que [(x+y)+((-x)+y)] est élément de A, ou encore que y+y est élément de A:ce qui est absurde car (y+y) est élément de B.

mon véritables problème : c'est que vous m'aidiez à rédiger rigoureusement, et avec tous les détails la deuxième question( si ma méthode est juste!), en fait je sais qu'il ya beaucoup de propriétés que je dois rappeler, je suis un peu embrouillé,aidez moi.Merci!
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[matthias]

L'idée est là, mais tu t'es un peu embrouillé. Ce n'est pas parceque x+y est dans A que (-x) + y est dans A (enfin ici c'est vrai, mais ce n'est pas justifié).
Pense à ce que tu peux faire avec (x+y) dans A et x dans A.

[invite71b1f7de]

Bonsoir

Il y a peut etre plus simple , raisonne par l'absurde :

Supposons que x+y appartient a A

Comme x appart. a A , -x aussi , de plus comme tu l'as dit , A est stable par +

D'ou (x+y)+(-x) appart. a A
Soit y appart. a A , ce qui est faux

D'ou .......

[invite71b1f7de]

J'avais pas lu le message de Matthias , c'est ca , desole d'avoir donné la reponse toute faite...........!!!!

[A voir en vidéo sur Futura]

[matthias]

D'ou .......

Je ne vois pas l'intérêt de ceci vu que tu viens de donner une solution complète, ce que franc15 ne demandait pas d'ailleurs

[EDIT : excuses acceptées ]

[invite0ceebb9d]

bonsoir et merci pour la répponse, je vois maintenant que ca a été plus plus simple de travailler en prenant x+y dans A et x aussi dans A.
A Mathias j"aimerai demander comment il opte justifier que:Pour x+y appartenant à A on a -x+y appartenant à A

[matthias]

A Mathias j"aimerai demander comment il opte justifier que:Pour x+y appartenant à A on a -x+y appartenant à A

Dans ton cas c'est vrai parce que x est aussi dans A, donc (x+y)-2x = -x+y est dans A. Mais comme tu l'as vu c'est inutilement compliqué, et ce n'est pas vrai dans le cas général.

[GuYem]

bonsoir et merci pour la répponse, je vois maintenant que ca a été plus plus simple de travailler en prenant x+y dans A et x aussi dans A.
A Mathias j"aimerai demander comment il opte justifier que:Pour x+y appartenant à A on a -x+y appartenant à A

Cette assertion est fausse. Par contre si tu supposes x dans A, c'est encore vrai par le même truc que avant :

-x + y = x + y -2x est dans A comme la somme de deux éléments de A qui sont x+y et -2x.


EDIT : grillé