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Fonction sinus dans le champ complexe



  1. #1
    le fouineur

    Fonction sinus dans le champ complexe


    ------

    Bonjour à tous,

    Je fais aujourd' hui mes premiers pas dans l'analyse complexe et je butte sur la définition du sinus complexe:
    en effet comment démontrer que

    Sin(z)=Sin(x+i*y)=Sin(x)*Cosh( y)+i*Sinh(y)*Cos(x)

    Je suis bloqué à l' étape suivante:

    Sin(z)=[Exp(i*x)*Exp(-y)-Exp(-i*x)*Exp(y)]/2*i

    J'ai essayé de mettre Exp(i*x) en facteur en remarquant
    que: -Exp(-i*x)=Exp(i*x) mais ça ne donne rien de bien
    sympathique.Comment faut-il procéder?

    merci de m'aider le fouineur

    -----

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  3. #2
    galilee294

    Re : Fonction sinus dans le champ complexe

    Bonjour,
    il faut que tu utilises l'identité remarquable :
    sin(a+b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)
    cela donne :
    sin(x+iy) = sin(x) cos(iy) + cos(x) sin(iy)
    tu développes sous exp les termes cos(iy) et sin(iy) et cela devrait aller tout seul.
    GALILEE

  4. #3
    rvz

    Re : Fonction sinus dans le champ complexe

    Bonjour,

    Effectivement comme ça, ça marche, mais en général on ne connaît cette formule qu'avec a et b rééls. Donc il faut savoir la démontrer pour a et b complexes (d'accord, je sais, c'est pas dur, mais faut être rigoureux...).
    Une remarque sur le premier post : Tu n'as pas -exp(-ix)= exp(ix) ! Par contre, partir du résultat pourrait t'aider à montrer l'égalité...

    __
    rvz

  5. #4
    le fouineur

    Re : Fonction sinus dans le champ complexe

    Bonjour,

    Merci galilee294 et rvz pour vos réponses

    je vais réessayer avec vos indications,je vous tiens au
    courant....

    le fouineur

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    le fouineur

    Re : Fonction sinus dans le champ complexe

    J'ai réussi à démontrer la formule à l' aide de la méthode
    suggérée par galilee294.Mais pourquoi faut-il démontrer
    que la formule d'addition des angles peut être étendue
    au champ complexe?Et comment le démontrer?

    le fouineur

  8. #6
    rvz

    Re : Fonction sinus dans le champ complexe

    Tout simplement, il existe des formules vraies pour les nombres rééls et pas pour les nombres complexes. Un exemple bête :
    Im(x) = 0 pour tout x dans R est vrai.
    Im(z) = 0 pour tout z dans C est faux.

    Bon, ici, c'est analytique, donc c'est vrai, mais il y a quand même un petit argument...

    Pour le démontrer, utilise les exponentielles complexes (pour ma part, je ne sais pas démontrer sin(a+b) = sina * cosb+... sans elle)

    __
    rvz

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  10. #7
    homotopie

    Re : Fonction sinus dans le champ complexe

    Citation Envoyé par rvz
    Pour le démontrer, utilise les exponentielles complexes (pour ma part, je ne sais pas démontrer sin(a+b) = sina * cosb+... sans elle)
    sin(a+b)=sin(a)cos(b)+... se démontre très facilement en écrivant matriciellement que la rotation d'angle de a+b est l'image de la composée des rotations d'angle a et d'angle b.

  11. #8
    matthias

    Re : Fonction sinus dans le champ complexe

    Citation Envoyé par homotopie
    sin(a+b)=sin(a)cos(b)+... se démontre très facilement en écrivant matriciellement que la rotation d'angle de a+b est l'image de la composée des rotations d'angle a et d'angle b.
    Sauf qu'ici a et b sont des complexes.
    Sinon on peut aussi passer par des équas diffs.

  12. #9
    rvz

    Re : Fonction sinus dans le champ complexe

    Reste que je trouve que c'est quand même plus facile avec les exponentielles complexes.
    Pour homotopie : Selon moi, interpréter une rotation 2D en terme de matrice, c'est rien d'autre qu'utiliser la notion d'exponentielle complexe sans le dire.
    Pour Matthias : Ca m'a pas l'air évident du tout, ce que tu proposes, mais bon, ça fait une autre méthode.

    __
    rvz

  13. #10
    le fouineur

    Smile Re : Fonction sinus dans le champ complexe

    Bonjour à tous,

    J'ai pu établir la démonstration des formules d' addition étendues au champ complexe:en fait j' ai démontré que:

    sin(z+z')=sin(z)*cos(z')+sin(z ')*cos(z) et que:
    cos(z+z')=cos(z)*cos(z')-sin(z)*sin(z')

    Est ce que c' est suffisant pour pouvoir utiliser les formules: sin(x+i*y) et cos(x+i*y)?
    Maintenant je vais m' attaquer aux définitions de l' exponentielle et du logarithme complexe qui me paraissent beaucoup plus ardues....

    En tous cas merci pour vos réponses car elles m' ont permis de bien avancer.

    le fouineur

  14. #11
    GillesH38a

    Re : Fonction sinus dans le champ complexe

    Il me semble que si dans ton premier post, tu développes exp(ix) ça devrait aller tout seul non?

  15. #12
    homotopie

    Re : Fonction sinus dans le champ complexe

    Citation Envoyé par rvz
    Pour homotopie : Selon moi, interpréter une rotation 2D en terme de matrice, c'est rien d'autre qu'utiliser la notion d'exponentielle complexe sans le dire.
    __
    rvz
    Certes mathématiquement parlant. Mais si l'un peut se montrer niveau terminale, l'autre non (les formules de Moivre sont admises à ce niveau). Ce petit rappel était juste au cas où quelqu'un veut savoir (ou se rappeler) pourquoi cos(a+b)=... mais ne veut pas admettre les formules de Moivre (ce qui revient à admettre à ce niveau les formules trigo et non pas les montrer)

    A Matthias, la méthode par les équas diffs, bien que plus rigoureuse en soi, nécessitent aussi d'admettre plus de choses que la méthode toute simple que j'ai rappelé.

    Au fouineur,
    si tu as réussi à montrer cos(z+z')=... et sin (z+z')=... en toute généralité, c'est presque fini, tu poses z=x et z'=iy.
    L'exponentielle complexe n'est pas très difficile (elle est même abordée en terminale.
    Par contre "le" logarithme complexe est moins sympathique : plusieurs valeurs possibles car l'exponentielle complexe n'est pas injective.

    Cordialement

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  17. #13
    Ksilver

    Re : Fonction sinus dans le champ complexe

    j'ai jammais fait d'analyse complexe de ma vie mais pour etendre les fonction sinus et cosinus au plen complexe il faut bien partir de qqch non ?

    les formule d'euler m'ont l'air tres bien pour sa (de toute facon je voi rien d'autre) , et si on se base dessu, la formule que tu donne est evidente : on l'obtiens soit en demontrant la formule de sommation a partir des formules d'euler, soit en developement directement les formule d'euler non ?

    enfin je me trompe peut-etre.

  18. #14
    rvz

    Re : Fonction sinus dans le champ complexe

    Salut,

    En fait, le plus facile, c'est de partir de la définition de l'exponentielle complexe (qui se définit comme la fonction somme de sa série entière dont on voit facilement que le rayon de convergence est infini). Après, tu poses cos x = Re(exp(ix))
    sin x = Im (exp(ix))
    Tu en déduis facilement que
    cos(a+b) = Re(exp(i(a+b)) = Re(exp(ia)*exp(ib)), et par définition,
    exp(ia)*exp(ib) = cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) + i (cos(a)sin(b)+cos(b)sin(a))
    Donc cos(a+b) = cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b).

    __
    rvz

    PS : De toute façon, l'exponentielle marche dans toute R-algèbre complète, que ce soit C, M_n(R), M_n(C), même si c'est encore mieux quand elle est commutative (ce qui n'est malheureusement le cas que pour C)

  19. #15
    Ksilver

    Re : Fonction sinus dans le champ complexe

    oui mais le but etant de generaliser ces formules au plan complexe, cette definition ne suffit pas non ?

    (on plus definire sinus comme Im(exp) si la variable est complexe...)

  20. #16
    rvz

    Re : Fonction sinus dans le champ complexe

    Citation Envoyé par Ksilver
    oui mais le but etant de generaliser ces formules au plan complexe, cette definition ne suffit pas non ?

    (on plus definire sinus comme Im(exp) si la variable est complexe...)

    L'exponentielle d'un nombre complexe est un nombre complexe. Et comme pour tout nombre complexe, je peux en prendre sa partie réélle et sa partie imaginaire.
    Après, il est vrai que je peux écrire au moins 3 formules différentes équivalentes


    __
    rvz

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