Un calcul en complexe, avec des sinus

[invitedf667161]

Bonjour à tous.

Lors de la démonstration du fait que sin est une surjection de C dans C, on peut utiliser l'équivalence suivante :



Quelqu'un peut-il m'aider à l'établir ?
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[invitec314d025]

Ca a pas l'air de marcher bien fort pour z=Z=0.
En utilisant la formule d'Euler pour le sinus, ça donne quelque chose qui ressemble un peu.

[invitedf667161]

Ah oui t'as raison ça marche pas fort pour z=Z=0 ...
Je vais aller vérifier ça.

En effet avec la formule d'Euler on s'en rappoche mais je n'arrive pas à faire sortir de exp(2z).

La suite bientôt

[invite6b1e2c2e]

Salut,

Il me semble que si tu passes en z = a+ib, tu obtiens quelque chose du type

Donc la partie réélle de sin(z) est

Et la partie imaginaire vaut :


Maintenant, ça, je suis sûr qu'on peut le résoudre. Soit Z=z1 +z2.
Alors tu cherches a et b tel que
a = Arcsin(z1/(ch(b)+2sh(b)) = Arccos(-z2/sh(b))
Du coup, tu dois avoir que
z1 = f2(b) := (ch(b)+2sh(b)) sin(Arccos(-z2/sh(b))

Y a plus qu'à montrer que f2 a pour image tout R.

Bon, d'accord, c'est assez laid, mais si on prend bien le temps da faire gaffe avec les Arccos, Arcsin et compagnie, ça devrait marcher...

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rvz

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedf667161]

Je suis d'accord avec toi que ça doit marcher rvz ! Les expressions des parties réelles et imaginaires de sin(z) sont d'ailleurs données un peu plus tôt dans le bouquin. Ta partie réelle doit se simplifier encore un peu au passage.

Cependant le but ici est de démontrer la surjectivité de sin à partir de celle de l'exponentielle vue un peu plus tôt, donc l'artillerie que tu sors me semble mal venue

Après vérification le bouquin (Pommellet, analyse pour l'agrégation) affirme bien l'identité que j'ai énoncée. Surement une coquille, ou alors elle ne tient pas compte de la solution z=Z=0.

Bref, cela ne me dit toujours pas comment sortir, à partir de sin z = Z une expression polynomiale en exp(z) qui me permettra de conclure quant à la surjectivité du sinus complexe ...

[invitec314d025]

Bref, cela ne me dit toujours pas comment sortir, à partir de sin z = Z une expression polynomiale en exp(z) qui me permettra de conclure quant à la surjectivité du sinus complexe ...

Avec la forumle d'Euler ça marche bien. L'équation obtenue n'est pas la même mais ce n'est pas grave. z -> e^(iz) est aussi surjective de C dans C*. Comme 0 n'est pas solution de ton équation ...

[invitedf667161]

Oui bien sur, cela donne

exp(2iz) - 2iZexp(iz) - 1 = 0 et roule ma poule.

Mais comment il a fait pour sortir cette équation ce brave Pommellet ?!??

Merci à vous.

[invitec314d025]

Mais comment il a fait pour sortir cette équation ce brave Pommellet ?!??

Tu es sûr qu'il n'y avait pas une bidouille du genre (plus une erreur de signe) ? C'est vrai que c'est louche.

[invitedf667161]

Rien vu de ce genre là. Mais c'est vrai que Z/i et un signe à changer et tout rentre dans l'ordre...

Oui c'est louche mais pas tant que ça, de toute façon dans ce bouquin les preuves sont le plus souvent "laissées au lecteur". Si ça se trouve il met des grosses coquilles exprès pour développer l'esprit critique dudit lecteur !