Nombre Harshad (suite)

[invite7863222222222]

Bonjour,

un peu comme une suite d'un ancien post, j'ai pensé qu'il serait peut-être intéressant de proposer un exercice.

Juste pour formaliser, on peut proposer les définitions suivantes :

Un nombre Harshad d'ordre n est un nombre sur lequel on peut dire récursivement n fois que le quotient de sa division par la somme de ses chiffres est un nombre Harshad, jusqu'à ce qu'on arrive à l'une des deux conditions suivantes :

• le quotient ne soit plus divisible par la somme de ses chiffres;
• la somme des chiffres du quotient vaille 1.

On appelle alors S_a(k) la somme du quotient, obtenu à la kième étape, sur un nombre Harshad a d'ordre n.

(On peut fixer accésoirement la convention, que les nombres non Harshad ont un ordre de 0).

Exemples :

1, 10, 100... ect sont d'ordre 1.


a=7 est divisible par 7 (S_a(1)), quotient : 1
7 est d'ordre 1

a=234 est divisible par 9 (S_a(1)), quotient : 26
26 n'est pas divisible par 8.
234 est d'ordre 1

a=52488 est divisible par 27 (S_a(1)), quotient 1944
1944 est divisible par 18 (S_a(2)), quotient 108
108 est divisible par 9 (S_a(3)), quotient 12
12 est divisible par 3 (S_a(4)), quotient 4
4 est divisible par 4 (S_a(5)), quotient 1
52488 est d'ordre 5 (1944 est d'ordre 3, 108 est d'ordre 2, ...)

A chaque fois, on remarque que S_a(k) est un nombre Harshad. Cela se vérifie pour des nombres encore plus grand (comme 1562079411648).

Donc, si cela dit à certains, ca serait sympa de démontrer ceci :

Soit a un nombre Harshad d'ordre n (> 0), pour tout k strictement inférieur à n, S_a(k) est un nombre Harshad.

En tout cas, même si j'ai pas trop réfléchi à la question, ca m'interesse, car c'est quand meme pas, par un hasard miraculeux, que ces nombres sont des harshad à chaque fois.
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[invite986312212]

108108 / 18 = 6006 mais
6006 n'est pas divisible par 12
est-ce un contre-exemple? je ne comprends
pas bien le côté récursif de ta définition.
si on le prend au pied de la lettre, alors
ce n'est pas étonnant que les quotients
soient Harshad (?)

[matthias]

108108 / 18 = 6006 mais
6006 n'est pas divisible par 12
est-ce un contre-exemple?

Non. Ce que jreeman dit c'est que dans ce cas la somme des chiffres semble aussi être Harshad, ici 18.

[invite7863222222222]

108108 / 18 = 6006 mais
6006 n'est pas divisible par 12

L'énoncé, porte sur les S_a(k) et pas sur les quotients.

Dans ton exemple, il aurait prévu que 12 est un nombre Harshad si 6006 avait été harshad. Là c'est un hasard que 12 soit Harshad (par exemple, a=108105 est divisible par 15 mais 108105/15=7207 n'est pas divisible par 16).

Désolé si ce n'est pas très intuitif. On peut surement exprimer les choses un peu plus mathématiquement à l'aide de suites.

Je donne quand même un autre exemple :

a=12964536 est divisible par S_a(1)=36, Q_a(1)=360126
360126 est divisible par S_a(2)=18, Q_a(2)=20007
20007 est divisible par S_a(3)=9, Q_a(3)=2223
2223 est divisible par S_a(4)=9, Q_a(4)=247
247 est divisible par S_a(5)=13, Q_a(5)=19
19 n'est pas divisible par 10 : c'est une des deux conditions d'arrêt et donc n vaut 5.

Ce que prévoit l'énoncé c'est que S_a(1), S_a(2), S_a(3), S_a(4) sont Harshad. On ne peut rien dire pour S_a(5) car Q_a(5=ordre) n'est pas Harshad.

Cependant, il y a bien des contre-exemples mais en étudiant un peu plus les cas, on peut remarquer des caractéristiques curieuses.

Appliquer l'algorithme en calculant les S_a, par exemple sur :

780, 870, 1590, 7440, 7530, 7620, 1185, 1275, 1455, 7305, 8025 puis 1066, 1088, 1148, 1274, 1394 puis 7150, 7215, 7360, 7700.

En fait, il y a pleins de petites choses remarquables que c'ets dur de les regrouper dans un seul énoncé .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite986312212]

j'étais à côté de la plaque.

[invite7863222222222]

Je donne juste un formalisme plus mathématique à ce que j'avais écrit.

Soit la fonction qui somme les digits d'un nombre dans une base . On notepour simplifier.

Un nombre est Harshad d'ordre si ne divise pas ou si et il est d'ordre , si est un nombre Harshad d'ordre .

Pour tout nombre Harshad d'ordre , soit , l'ensemble ordonné des nombres Harshad trouvés à partir de a =.

Si on définit alors , on a l'une des deux possibilités suivantes :

• , est un Harshad différent de ;
• , tel que ,

A mon avis on peut remplacer par , dans le résultat mais je n'ai surement pas fait de simulation sur d'assez grands chiffres pour le remarquer.

Le test a été fait jusqu'à .

[invite7863222222222]

Désolé je corrige mon post. Décidemment.

...
Un nombre est Harshad d'ordre si ne divise pas ou si et il est d'ordre , si a/S(a) est un nombre Harshad d'ordre .
...

Pour tout nombre Harshad d'ordre , soit , l'ensemble des nombres Harshad trouvés successivement à partir de a =.

...

A mon avis on peut remplacer par , dans le résultat mais je n'ai surement pas fait de simulation sur d'assez grands nombres pour le remarquer.
...

[matthias]

Un nombre est Harshad d'ordre si ne divise pas ou si

C'est vraiment bizarre de mettre des Harshad et des non Harshad dans le même panier.

[leg]

ce qu'il faudrait savoir, et qui me semble "facile à montrer c'est a est harshad si il = 0(9) au minimum d'apres les premiers exemples.

[invite7863222222222]

ce qu'il faudrait savoir, et qui me semble "facile à montrer c'est a est harshad si il = 0(9) au minimum d'apres les premiers exemples.

il = 0(9) ??

[invite7863222222222]

Du résultat, on peut conclure que si il n'existe pas tel que , alors , est un Harshad différent de .

La réciproque est fausse malheureusement (ex : 24192).

[invite7863222222222]

J'ai besoin de vacances apparemment. Je voulais dire : "s'il n'existe pas ...".