Sous-espaces vectoriels

[invite54b815e1]

Bonjour,

Voila un probleme que je comprends pas :

Montrer que dans muni d'un produit scalaire quelconque, il ne peut pas exister deux sous-espaces vectoriels W₁ et W₂ avec W₁ W₂ et dim (W₁)=dim (W₂)=2, mais que dans de tels sous-espaces existent.

Je comprends pas car si on prends W₁ =tous les vecteurs de la forme où (=vecteurs dans le plan xy) et W₂ =tous les vecteurs de la forme où (=vecteurs dans le plan yz) , alors W₁ W₂ et dim (W₁)=dim (W₂)=2.
Donc je n'arrive pas a comprendre mon erreur.

Merci d'avance!
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[invited5b2473a]

Ces vecteurs W1 et W2 ne sont pas indépendants.

[invite54b815e1]

Deuc vecteurs sont indépendant si la seule façon d'exprimer le vecteur nul comme une combinaison de ces deux vecteur est de prendre 0 fois le premier vecteur et 0 fois le deuxième, non? dans ce cas W₁ et W₂ sont indépendants , je me trompe?

[invitebb921944]

Bonjour.
Le problème, c'est que dans ton exemple, W1 n'est pas orthogonal à W2.
Je te laisse vérifier pourquoi.
En fait si tu réflechis bien, l'orthogonal d'un plan ne peut pas être un plan (c'est une droite).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite54b815e1]

Ok c'est une droite qui passe par l'origine et qui est orthogonale à W₁. Mais dans si je prends W₁ =tous les vecteurs de la forme où et W₂ =tous les vecteurs de la forme où , alors W₁ W₂ et dim (W₁)=dim (W₂)=2. C'est bien ça?

[invitebb921944]

C'est bien ça !

[invite54b815e1]

Ok merci beaucoup!