Pb pour une bijection

[invitee0d36548]

Alors l'énoncé est :
Montrer que lN et lN² sont en bijection?

Je ne vois pas du tout comment on peut faire.
Merci de votre aide!
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[invite03f2c9c5]

Bonjour,

L'idée est de « numéroter » les couples d'entiers naturels. Par exemple, (0;0) portera le numéro 0, (1;0) portera le numéro 1… À toi de trouver une façon de numéroter systématique, qui permette bien d'attribuer un et un seul numéro à chaque couple.

[invitee0d36548]

Je ne vois pas ou cela va nous menez ???

[invite03f2c9c5]

L'application qui à un couple associe son numéro sera la bijection que tu cherches. Maintenant, je ne voudrais pas te donner entièrement la façon de numéroter les couples, car ce serait résoudre l'exercice à ta place. Essaie de trouver une façon systématique de le faire sans en oublier aucun… Allez, pour t'aider, je te suggère d'attribuer le numéro 2 au couple (0;1), le numéro 3 au couple (1;1)… À toi de continuer.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee0d36548]

Pourriez vous m'indiquer le numéro à attribuer au couple (0;2). Merci d'avance .

[invite03f2c9c5]

En fait, il n'y a pas qu'une seule manière de numéroter… Une manière facile (légèrement différente de celle que j'initiais dans mon message précédent) serait la suivante :
-- à 0 on associe (0;0) ;
-- à 1 on associe (1;0) ;
-- à 2 on associe (0;1) ;
-- à 3 on associe (2;0) ;
-- à 4 on associe (1;1) ;
-- à 5 on associe (0;2)…

À toi de trouver la suite. Indication : représente ces couples dans le plan muni d'un repère, tu verras tout de suite l'idée…

[inviteaf1870ed]

Moi je préfère l'idée de décomposer le nombre en un facteur pair et un facteur impair.

[invitec053041c]

En fait, il n'y a pas qu'une seule manière de numéroter… Une manière facile (légèrement différente de celle que j'initiais dans mon message précédent) serait la suivante :
-- à 0 on associe (0;0) ;
-- à 1 on associe (1;0) ;
-- à 2 on associe (0;1) ;
-- à 3 on associe (2;0) ;
-- à 4 on associe (1;1) ;
-- à 5 on associe (0;2)…

À toi de trouver la suite. Indication : représente ces couples dans le plan muni d'un repère, tu verras tout de suite l'idée…

Cette manière de numéroter les éléments de IN² est somme toute assez jolie et de loin ma favorite .

[invitee0d36548]

merci de me repondre si vite. Je suis pourtant pas sur d'avoir compris par exemple je crois trouver qu'à
-6 on associe (3;0)
-7 on associe (2;1)
-8 on associe (1;3)
-9 on associe (0;3)

[invite03f2c9c5]

merci de me repondre si vite. Je suis pourtant pas sur d'avoir compris par exemple je crois trouver qu'à
-6 on associe (3;0)
-7 on associe (2;1)
-8 on associe (1;3)
-9 on associe (0;3)

En remplaçant (1;3) par (1;2) (coquille ?), je suis d'accord avec toi.

[invitec053041c]

merci de me repondre si vite. Je suis pourtant pas sur d'avoir compris par exemple je crois trouver qu'à
-6 on associe (3;0)
-7 on associe (2;1)
-8 on associe (1;3)
-9 on associe (0;3)

Oui c'est bien cela.
Tu vois qu'avec ce principe, tu parcours tout IN² en étant capable de compter: 1er couple,2eme couple,3eme...
Tu as donc une bijection entre IN (le numéro du couple) et IN² (le couple).

[invitee0d36548]

j'ai donc bien compris comment numéroter les couples. Mais comment prouver ensuite par ecrit que c'est une bijection (x,y)= ((x+y)(x+y+1)/2) +y je sais que ceci est la formule de notre bijection mais je n'arrive pas a le montrer pouvez vous m'aider merci

[inviteaf1870ed]

Sinon tu peux faire la bijection (x,y)-->2^x(2y+1)
Grâce à l'unicité de la décomposition en facteurs premiers, la bijection est évidente.