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Pb pour une bijection



  1. #1
    Nanou51100

    Pb pour une bijection


    ------

    Alors l'énoncé est :
    Montrer que lN et lN² sont en bijection?

    Je ne vois pas du tout comment on peut faire.
    Merci de votre aide!

    -----

  2. #2
    DSCH

    Re : Pb pour une bijection

    Bonjour,

    L'idée est de « numéroter » les couples d'entiers naturels. Par exemple, (0;0) portera le numéro 0, (1;0) portera le numéro 1… À toi de trouver une façon de numéroter systématique, qui permette bien d'attribuer un et un seul numéro à chaque couple.
    1 729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3

  3. #3
    Nanou51100

    Re : Pb pour une bijection

    Je ne vois pas ou cela va nous menez ???

  4. #4
    DSCH

    Re : Pb pour une bijection

    L'application qui à un couple associe son numéro sera la bijection que tu cherches. Maintenant, je ne voudrais pas te donner entièrement la façon de numéroter les couples, car ce serait résoudre l'exercice à ta place. Essaie de trouver une façon systématique de le faire sans en oublier aucun… Allez, pour t'aider, je te suggère d'attribuer le numéro 2 au couple (0;1), le numéro 3 au couple (1;1)… À toi de continuer.
    1 729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Nanou51100

    Re : Pb pour une bijection

    Pourriez vous m'indiquer le numéro à attribuer au couple (0;2). Merci d'avance .

  7. #6
    DSCH

    Re : Pb pour une bijection

    En fait, il n'y a pas qu'une seule manière de numéroter… Une manière facile (légèrement différente de celle que j'initiais dans mon message précédent) serait la suivante :
    -- à 0 on associe (0;0) ;
    -- à 1 on associe (1;0) ;
    -- à 2 on associe (0;1) ;
    -- à 3 on associe (2;0) ;
    -- à 4 on associe (1;1) ;
    -- à 5 on associe (0;2)…

    À toi de trouver la suite. Indication : représente ces couples dans le plan muni d'un repère, tu verras tout de suite l'idée…
    1 729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3

  8. #7
    ericcc

    Re : Pb pour une bijection

    Moi je préfère l'idée de décomposer le nombre en un facteur pair et un facteur impair.

  9. #8
    Ledescat

    Re : Pb pour une bijection

    Citation Envoyé par DSCH Voir le message
    En fait, il n'y a pas qu'une seule manière de numéroter… Une manière facile (légèrement différente de celle que j'initiais dans mon message précédent) serait la suivante :
    -- à 0 on associe (0;0) ;
    -- à 1 on associe (1;0) ;
    -- à 2 on associe (0;1) ;
    -- à 3 on associe (2;0) ;
    -- à 4 on associe (1;1) ;
    -- à 5 on associe (0;2)…

    À toi de trouver la suite. Indication : représente ces couples dans le plan muni d'un repère, tu verras tout de suite l'idée…


    Cette manière de numéroter les éléments de IN² est somme toute assez jolie et de loin ma favorite .
    Cogito ergo sum.

  10. #9
    Nanou51100

    Re : Pb pour une bijection

    merci de me repondre si vite. Je suis pourtant pas sur d'avoir compris par exemple je crois trouver qu'à
    -6 on associe (3;0)
    -7 on associe (2;1)
    -8 on associe (1;3)
    -9 on associe (0;3)

  11. #10
    DSCH

    Re : Pb pour une bijection

    Citation Envoyé par Nanou51100 Voir le message
    merci de me repondre si vite. Je suis pourtant pas sur d'avoir compris par exemple je crois trouver qu'à
    -6 on associe (3;0)
    -7 on associe (2;1)
    -8 on associe (1;3)
    -9 on associe (0;3)
    En remplaçant (1;3) par (1;2) (coquille ?), je suis d'accord avec toi.
    1 729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3

  12. #11
    Ledescat

    Re : Pb pour une bijection

    Citation Envoyé par Nanou51100 Voir le message
    merci de me repondre si vite. Je suis pourtant pas sur d'avoir compris par exemple je crois trouver qu'à
    -6 on associe (3;0)
    -7 on associe (2;1)
    -8 on associe (1;3)
    -9 on associe (0;3)
    Oui c'est bien cela.
    Tu vois qu'avec ce principe, tu parcours tout IN² en étant capable de compter: 1er couple,2eme couple,3eme...
    Tu as donc une bijection entre IN (le numéro du couple) et IN² (le couple).
    Cogito ergo sum.

  13. #12
    Nanou51100

    Pb pour une bijection

    j'ai donc bien compris comment numéroter les couples. Mais comment prouver ensuite par ecrit que c'est une bijection (x,y)= ((x+y)(x+y+1)/2) +y je sais que ceci est la formule de notre bijection mais je n'arrive pas a le montrer pouvez vous m'aider merci

  14. #13
    ericcc

    Re : Pb pour une bijection

    Sinon tu peux faire la bijection (x,y)-->2^x(2y+1)
    Grâce à l'unicité de la décomposition en facteurs premiers, la bijection est évidente.

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