ordres multiplicatifs

[christophe_de_Berlin]

bonjour,

J´ai un problème d´arithmétique: Il s´agit d´un exo qui porte sur (Z/31Z)*, donc l´ensemble des inversibles.

La question est: Quels sont les ordres multiplicatifs possibles des éléments de (Z/31Z)?

donc d´après ce que je sais, l´ordre multiplicatif d´un élement n est le plus petit entier k different de 1 tel que n^k = 1 dans (Z/31Z). Bon donc on peut le faire à la main.

Mais j´ai trouvé une réponse que je ne comprend pas: les ordres multiplicatifs possibles sont tous les diviseurs de 30. Vu que 31 est premier, phi(31) = 30. Mais pourquoi tous les diviseurs? Je n´ai pas trouvé de théorème á ce sujet.

non capisco

merci d´avance

christophe
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[GuYem]

Salut.

C'est très bète en fait. Z/31Z est un groupe multiplicatif d'ordre 30. Or dans un groupe, l'ordre d'un élément divise l'ordre du groupe. Donc les ordres POSSIBLES sont les diviseurs de 30.
Attention ! Cela ne veut pas dire que pour chaque diviseur de 30 il y a un élément de cet ordre. Cela veut juste dire que si tu prends un nombre qui ne divise pas 30, tu ne trouveras pas d'élément d'ordre ce nombre.

[invite35452583]

Bonjour,
pour compléter ce qu'a écrit Guyem, non seulement les seuls ordres possibles sont les diviseurs de 30 mais ils le sont tous.

Plusieurs théorèmes existent :
1) les groupes multiplicatifs des inversibles des groupes Z/nZ sont cycliques si n n'est pas divisble par 4.. Pour n= k impair, c'est un groupe isomorphe à
2) Pour tout groupe fini G de cardinal avec m premier avec p (premier), il existe au moins un sous-groupe d'ordre . Dans notre cas de (Z/31Z)*, il existe un sous-groupe d'ordre 2, un d'ordre 3, un d'ordre 5. Donx x, y, z d'ordres respectifs 2,3,5. Il est facile de montrer que xyz est d'ordre 30 car commutent.

[invite35452583]

Rebonjour,
une erreur s'est subrepticement introduite : les (Z/nZ)* sont cycliques si 8 (et non pas 4) ne divise pas n. Et si 8 divise (et non pas 4) c'est un
Petit oubli : puisque (Z/31Z) est un groupe cyclique d'ordre 30 ce n'est pas difficile de montrer que tous les diviseurs sont des ordres possibles.

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[christophe_de_Berlin]

merci de vos réponses,

évidement, la solution était simple, j´avais un peu refoulé le théorème de Lagrange comme quoi l´ordre de tout sous-groupe d´un group fini divise l´ordre du groupe. Vu qu´il s´agissait des ordres possibles, il suffit de nommer les diviseurs de 30.

J´avoue que je n´ai pas tout compris dans les détails ce que tu as écris homotopie. tu écris: Les groupes (Z/nZ)* sont cycliques ssi 8 ne divise pas n. Moi j´avais plutôt crû que (Z/nZ)* ssi n est premier. Enfin c´est ce que je crois avoir lu, mais je vérifierai mes sources.

Mais maintenant que je vous tiens, autant poser une autre question: J´ai lu dans un exo que si l´ordre d´un groupe est le produit de deux nombres premiers, alors il est cyclique, et en plus une généralisation comme quoi si on fait la décomposition de n, l´ordre de G, en le produit de ses premiers, et qu´aucun de ces premiers ne se répète, (je crois qu´on appelle ça quadratfrei, sans carré en Allemand), alors G est cyclique. Vous connaissez ça?

Et d´une façon générale: vous connaissez peut-être une page internet qui explique les ordres finis d´une façon un peu intuitive? Parce que c´est un chapitre très théorique, et j´avoue que je nage une peu...

merci

[GuYem]

Re' Christophe.

A propos de ta confusion
- (Z/nZ)* est cyclique ssi 8 ne divise pas n
- (Z/nZ)* est un corps ssi n est premier
Le deuxième énoncé entrainant le premier.

Ce que tu annonces sur les groupes dont l'ordre ne fait intervenir que des puissances 1 des premiers apparaissant dans sa décomposition me parait provenir de plus ou moins loin du théorème d'isomorphisme "chinois". A préciser cependant qu'il est important que les groupes en question soient commutatifs

[invite35452583]

Guyem a raison d'insister sur la nécessité que ce soit commutatif. Le contre-exemple le plus trivial étant le groupe des permutations de 3 éléments. Il est d'ordre 6=2.3 mais n'est pas cyclique.
Le théorème de Sylow explique très bien la chose encore faut-il le connaître.
Pour tout groupe fini G de cardinal avec m premier avec p (premier), il existe au moins un sous-groupe d'ordre . Plus quelques propriétés qui chez les groupes abéliens se résument en ce sous-groupe est unique.
Pour G abélien tel que |G|= ce théorème implique l'existence d'éléments d'ordre . Leur produit a le même ordre que G.
Mais, on peut aussi le montrer plus "délicatement" avec le théorème "chinois". Je ne sais plus totalement comment ça marche. Mais on a ceci : |G|=, les noyaux des morphismes x-> sont tels que G=

Cordialement

[christophe_de_Berlin]

merci à vous 2, en effet, j´ai confondu les théorèmes: si (Z/nZ)* est premier, il est un corps. Est-ce réciproque?

Comme quoi, j´ai pas vraiment assimilé ce chapitre. Je vais essayer de trouver quelquechose sur ce théorème de Sylow. Si vous connaissez de bonnes adresses internet.

Ces de groupes finis sont vraiment trés théoriques. Ils me rendent

Cordialement

christophe

[christophe_de_Berlin]

désolé, y a quand même une truc qui m´échappe: (Z/6Z)* et même (Z/6Z) d´ailleurs, devrait être un groupe cyclique, donc fini (ça c´est évident) et monogène. Mais je ne vois aucun générateur de (Z/6Z)*:

1 n´est pas génerateur
2^2 = 4; 2^3 = 2
3^2 = 1
4^2 = 4
5^5 = 1

[Bloud]

Heu... un sous-groupe généré par un élément est composé des éléments multiples de cet élément (ainsi que de leur symétriques). Toi tu ne calcules que les puissances.
Ainsi
5*1 = 5 [6]
5*2 = 4 [6]
5*3 = 3 [6]
5*4 = 2 [6]
5*5 = 1 [6].

5 est donc bien générateur. Au passage, ce n'était pas la peine de vérifier avec 2, 3 et 4 qui ne sont pas premiers avec 6. Il n'y avait donc que le 5 (ou le 1! ) comme possiblité.

[Bloud]

Je viens de me rendre compte que j'ai écrit n'importe quoi. Je ne peux pas prendre la multiplication comme loi interne! Tous les éléments n'ont pas d'inverse!(le pire c'est que je l'ai écrit et que je ne m'en suis même pas rendu compte) Mille excuses.
Dans ce cas le problème est beaucoup plus simple alors. N'importe lequel des éléments est générateur pour l'addition.

[invitead065b7f]

Tu considère Z/6Z, qui est un groupe cyclique pour l'addition.

Mais ici on parle de (Z/6Z)* = {1,5} .

@Guyem : C'est Z/pZ qui est un corps, pas (Z/pZ)* .


@tout le monde.

Je ne suis pas tout à fait d'accord avec votre condition nécessaire et suffisante. Attention, argument d'autorité , citons Gauss (Recherches Arithmétiques, section troisième, n°92) :
"Nous nous contenterons ici d'observer que la belle propriété qui à lieu pour les autres modules, savoir : qu'il existe toujours des nombres dont la période renferme tout les nombres premiers avec le module, n'a pas lieu ici, excepté dans le seul cas où le module est double d'un nombre premier, ou d'une puissance d'un nombre premier"

En clair (Z/nZ)* (les nombres premiers avec le module) est cyclique (il existe un nombre qui le contient dans sa période) si et seulement si ou , avec p premier impair.

Voici la démonstration : (traduite dans des notations qui me paraissent plus claires)

Rappel : (Z/Z)* est cyclique de cardinal .

Si maintenant , on pose pour i entre 1 et k .

Soit z dans (Z/nZ)* . Alors pour i entre 1 et k modulo , et donc, si on note a le ppcm des , modulo n.

Ainsi, sauf si où , (Z/nZ)* n'est pas cyclique, car le les ne sont pas premiers entre eux dans les autres cas.


Amicalement,
Moma


PS : je vais jetter un oeil plus attentif sur les démonstrations qui sont contradictoires


Edit : en fait tu n'avais pas besoin de moi pour te corriger

[Bloud]

Message 1 :

Heu... un sous-groupe généré par un élément est composé des éléments multiples de cet élément (ainsi que de leur symétriques). Toi tu ne calcules que les puissances.
etc.

Message 2 :

Je viens de me rendre compte que j'ai écrit n'importe quoi. Je ne peux pas prendre la multiplication comme loi interne! etc.

Je me suis complètement embrouillé! Prière de ne pas tenir compte de ces messages.

[Bloud]

Non, non rien

[GuYem]

Bonjour.

Moma merco de ta rectification. Je crois que l'erreur qu'a commise Christophe est courante, à savoir confondre les structures de groupes possibles dans Z/nZ (* ou pas).

Il faut faire attention : pour tout n, Z/nZ est un groupe ADDITIF cyclique.
Pour tout p premier, Z/pZ est un corps donc Z/pZ* est un groupe MULTIPLICATIF, cyclique qui plus est.

[Bloud]

Tu considère Z/6Z, qui est un groupe cyclique pour l'addition.

Mais ici on parle de (Z/6Z)* = {1,5} .

Ah, donc on travaille bien avec la multiplication comme loi interne! Donc, 1 n'est pas générateur et 5 l'est bien. Je m'étais totalement embrouillé (je crois qu'il va falloir que je travaille!). Mais bon, maintenant c'est évident!
Dans
.
Donc le problème est réglé!

[invite35452583]

Je ne suis pas tout à fait d'accord avec votre condition nécessaire et suffisante. Attention, argument d'autorité , citons Gauss (Recherches Arithmétiques, section troisième, n°92) :
"Nous nous contenterons ici d'observer que la belle propriété qui à lieu pour les autres modules, savoir : qu'il existe toujours des nombres dont la période renferme tout les nombres premiers avec le module, n'a pas lieu ici, excepté dans le seul cas où le module est double d'un nombre premier, ou d'une puissance d'un nombre premier"

En clair (Z/nZ)* (les nombres premiers avec le module) est cyclique (il existe un nombre qui le contient dans sa période) si et seulement si ou , avec p premier impair.

Voici la démonstration : (traduite dans des notations qui me paraissent plus claires)

Rappel : (Z/Z)* est cyclique de cardinal .

Si maintenant , on pose pour i entre 1 et k .

Soit z dans (Z/nZ)* . Alors pour i entre 1 et k modulo , et donc, si on note a le ppcm des , modulo n.

Ainsi, sauf si où , (Z/nZ)* n'est pas cyclique, car le les ne sont pas premiers entre eux dans les autres cas.


Amicalement,
Moma

Merci Mona. Désolé Christophe.
J'ai, en effet, étendu maladroitement le résultat valable pour (p premier impair). (et +trivialement et )

Pour tenter de me faire pardonner, une esquisse de la démonstration du théorème "chinois" (je crois me rappeler que c'est son nom). Je le trouve plus compréhensible qu'une des démonstrations du théorème de Sylow dans le cas général au début de l'apprentissage des groupes.
J'ai laissé des parties non résolues car je crois qu'elles font un bon exercice.

Soit G un groupe fini commutatif avec |G|=n.m avec n et m premiers entre eux.
Soient les applications
de noyau
de noyau
Alors
Preuve :
1) gof(x)(=fog(x))=e pour tout élément x de G (ordre de x =ordre de <x> + théorème de Lagrange)
Qu'en déduit-on pour ker(g) et Im(f), pour ker(f) et Im(g)?
2) (càd , un peu d'arithmétique sur n et m)
3) En déduire que :
G=ker(f)Im(f)
G=ker(g)Im(g)
Im(f)=ker(g) et Im(g)=ker(f)
conclure

En déduire par récurrence sur le nombre de premiers dans la décomposition du cardinal d'un groupe fini commutatif G que où

Pour être complet, reste à montrer qu'un groupe G dont tous les éléments x sont d'ordre avec p premier est d'ordre . La réciproque est un corrollaire du théorème de Lagrange)
Par récurrence sur le nombre de générateurs de G :
on suppose que la proposition est vraie pour les groupes contenant une famille génératrice de n éléments. (Trivial pour n=1)
Soit un groupe dont une famille génératrice contient (n+) éléments : .
Soit H le sous-groupe engendré par les n éléments . H a un cardinal qui est une puissance de p. Resterait à montrer que G/H est une puissance de p. Or engendrent G/H...

Pour info : ce résultat "G ordre d'une puissance p équivaut à tous ses éléments sont d'ordre une puissance de p" est vraie aussi pour les groupes non commutatifs (il faut modifier la démonstration). De tels groupes sont appelés des p-groupes.
Un p-groupe d'un groupe G maximal ( avec m premier avec p et ) est appelé un p-Sylow. On peut reformuler un résultat précédent ainsi :
G un groupe fini commutatif est le produit de ses p-Sylow. (Faux en général chez les non abéliens).
A remarquer que même chez les commutatifs, |G|=m.n n'implique pas que G soit le produit d'un sous groupe d'ordre m et un sous-groupe d'ordre n (exemple G=Z/4Z |G|=4=2.2, exemple Z/12Z avec 12=6.2). (Il existe au moins un sous-groupe d'ordre m et au moins un d'ordre n mais non nécessairement en produit direct dans G)

Ainsi, l'ordre d'un groupe et celui de ses éléments sont très liés. Les p-sous groupes maximaux (p-Sylow) ont des propriétés "agréables" (qui s'expriment de manière très simple chez les groupes commutatifs).

Cordialement

[christophe_de_Berlin]

bon ben désolé, cette orgie de erreurs et de rectifications n´a (pour l´instant) fait qu´ajouter á ma confusion. Ce qui m´étonne le plus, c´est vous écrivez maintenant que ce n´est pas (Z/pZ)* qui est un corps, mais Z/pZ. Encore une de mes certitudes qui s´écroule. J´aurais juré que c´était l´inverse. Bon cela a ça de bon: J´ai reconnu mon erreur en posant (Z/6Z)* = {1, 2, 3, 4, 5}, simplement Z/6Z sans 0. Évidement, il fallait d´abord voir quels éléments sont inversibles, donc (Z/6Z)* {1,5} et 5 est son générateur.

Bon je vais méditer sur la chose, je n´ai pas dit mon dernier mot. Si jamais il vous vient d´autres rectifications, allez-y

[invitead065b7f]

Salut,

Juste une petite remarque sur (Z/pZ)* : il n'y a pas de 0, comme tu l'as toi même dit, et donc l'addition n'a pas d'élément neutre pour commencer. Elle n'est pas non plus interne (p-1 + 1 = 0 ).
Il n'y a qu'une loi de composition qui soit défénie correctement sur (Z/pZ)* (sur les deux habituelles, je ne te parle pas de trucs bizares qu'on ne rencontre jamais)


Amicalement,
Moma