Inverses multiplicatifs

[invite56460777]

Bonjour,

J'ai une petite question :

Dans le corps Z_21 munie des lois de comositions + (rond) et *(rond), je cherche une méthode pour déterminer les inverses multiplicatifs de tous les nombres dans Z_21 (quand celui-là existe).
Je procède à tatons, mais ce n'est pas bon du tout.
Z_21 est l'ensemble des entiers naturels de 0 à 20, la loi + (rond) est une addition mais son résultat est modulo 21. la loi * (rond) est une multiplication mais son résultat est aussi modulo 21. (l'élément neutre pour la multiplication est donc 1)
J'ai essayé d'appliquer l'algotihme d'Euclide mais je n'arrive à rien de concluant.
Par exemple comment arriver à montrer que l'inverse de 5 dans notre ensemble est 17.
Merci d'avance du coup de main...
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[invite56acd1ad]

On peut déjà dire que comme 21 est un nombre premier, l'ensemble des éléments inversibles de Z/21 Z est de cardinal 20.

On rappelle aussi qu'un élément de Z/21 Z est inversible ssi son représentant (ie. modulo 21) est premier avec 21.

Pour déterminer l'inverse de 5, on résoud en fait l'équation :
dans Z/21Z.
Comme pgcd(5,21)=1, un tel x existe et 5 inversible.
Pour déterminer x, on déroule alors l'algorithme d'Euclide.

[invite56acd1ad]

L'algorithme d'Euclide donne :
=>
Modulo 21, on a donc :
D'où : , car .
L'inverse de 5 modulo 21, ie. l'inverse de 5 dans Z/21 Z, est donc 17.

Voilà...

S'il y a quoi que ce soit qui est obscur...

[invitec314d025]

Bonjour,

J'ai une petite question :

Dans le corps Z_21 munie des lois de comositions + (rond) et *(rond), je cherche une méthode pour déterminer les inverses multiplicatifs de tous les nombres dans Z_21 (quand celui-là existe).
Je procède à tatons, mais ce n'est pas bon du tout.
Z_21 est l'ensemble des entiers naturels de 0 à 20, la loi + (rond) est une addition mais son résultat est modulo 21. la loi * (rond) est une multiplication mais son résultat est aussi modulo 21. (l'élément neutre pour la multiplication est donc 1)
J'ai essayé d'appliquer l'algotihme d'Euclide mais je n'arrive à rien de concluant.
Par exemple comment arriver à montrer que l'inverse de 5 dans notre ensemble est 17.
Merci d'avance du coup de main...

Petite remarque : Z / 21Z n'est pas un corps car 21 n'est pas premier ...
Donc comme l'a dit Jackooo, seuls les éléments premiers avec 21 sont inversibles.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite56acd1ad]

oups... petit bug, dans mon précédent message et en accord avec ce que dit Matthias, 21 n'est pas premier... donc l'ensemble des éléments inversibles correspond aux éléments premiers avec 21... (il n'y en a pas 20)... désolé pour cette erreur.

[invite56acd1ad]

Les éléments inversibles de Z/21Z sont donc : 1,2,4,5,8,10,11,13,16,17,19,20 .
Il y en a donc 12.

[invitec314d025]

Les éléments inversibles de Z/21Z sont donc : 1,2,4,5,8,10,11,13,16,17,19,20 .
Il y en a donc 12.

La fonction qui a n > 1 associe le nombre d'éléments inversibles de Z/nZ, s'appelle la fonction indicatrice d'Euler (ou indicateur dEuler), dont l'étude n'est pas dénuée d'intérêt.

[invite56acd1ad]

Si on note l'indicateur d'Euler, on a :

• 
• est le nombre d'entiers tels que pgcd(k,n)=1
• Pour tout entier n >1,

On a aussi le théorème d'Euler qui dit que pour un entier n>1 :
Si k est premier avec n, on a :

On peut aussi montrer que si n>1 a une décomposition en facteurs premiers de la forme : , alors .

Pas mal tout ca, non... merci Euler...

[invite56460777]

oui, j'avais bien vu et compris pourquoi seuls les nombres premiers avec 21 avaient un inverse. Mais j'avais aussi écrit l'algorythme d'Euclide, mais comme je ne voyais pas apparaitre 17 comme je le souhaitais je me faisais du soucis... Je n'avais pas compris, ce que devenait les nombres négatifs quand ils devenaient modulos.
Maintenant c'est clair. Je n'ai pas posé ma question pour rien... Merci beaucoup!