Bonsoir
s'il vous plaît je ne comprends pas la solution d'un exercice :
Soit A appartient Mn(R) tel que A^3 -A^2+A- In = 0
on veut montrer que det (A)=1
pour cela on pose le polynôme P(X)= X^3 -X^2+X - 1 qui est annulateur de A
donc Sp(A) inclus dans {1,i,-i}
De plus, A étant à coefficients réels alors i et(-i) ont la même multiplicité m >0
donc det(A)=1
Ma question es pourquoi m >0 et non pas m>=0. Si m=0 , i et(-i) ne sont pas des racines mais je ne vois pas où est le problème
Merci
si i est solution alors -i l'est aussi obligatoirement, ac meme ordre de multiplicité, comme tu travailles sur Mn(R).
de meme, si -i est racine, alors i l'est.
donc Sp = 1 ou Sp = { 1, i , -i }
dans les deux cas, on arrive au resultat voulu.
Merci .. mais 1 peut être la seule racine, non?
Bien vu.
D'ailleurs In est une des valeurs possibles de A.
Cordialement.
Merci mais si c'est le cas pourquoi écarter le cas où m=0 ?
Il n'y a pas à l'écarter ...
Vois avec celui qui a rédigé cet exemple ou corrigé.
Ah désolée j'ai oublié de préciser que Sp (A) dans C est inclus dans {1,i,-i}
Ceci justifie que m#0 , non?
Non, Sp (In) dans C est inclus dans {1,i,-i}
Oui mais si on travaille dans C , P doit avoir impérativement au moins une racine complexe tout en tenant compte de la racine réelle, non?
Tu y crois vraiment ?????
J'ai l'impression que ça ne te ferait pas de mal de lire un cours (programme de première S de 2000, par exemple) sur les polynômes. Et d'y réfléchir.
Puis d'essayer de comprendre pourquoi dans ton corrigé, on dit :
on pose le polynôme P(X)= X^3 -X^2+X - 1 qui est annulateur de A
donc Sp(A) inclus dans {1,i,-i}
Et la remarque que je t'ai faite sur In.
Bonne réflexion !
NB : Tu réponds quand même bien vite.
Désolée mais P est un polynôme de degré 3 (impair) donc admet nécessairement au moins une racine réelle qu'on note a. ainsi P(X)=(X-a)Q(X) avec Q(X) un polynôme de degré 2 donc il est scindé dans C donc admet au moins une valeur complexe. Non?
Tu n'as jamais rencontré des polynômes de degré 2 ayant 2 racines réelles ??? Ou de degré 3 ?
Que penses-tu de (X-1)3 ?
Bien sûr que oui. J'ai dit que si un polynôme est de degré impair alors il admet au moins une racine réelle. Je ne vois pas de contradictionEnvoyé par gg0
Oui il est de degré 3 mais n'admet que 1 comme racine ... Mais je ne vois pas encore où est la faute dans mon raisonnement (P(X)=(X-a)Q(X) avec Q(X) un polynôme de degré 2 donc il est scindé dans C donc admet au moins une valeur complexe)
Merci
1 est un nombre complexe.Mais je ne vois pas encore où est la faute dans mon raisonnement (P(X)=(X-a)Q(X) avec Q(X) un polynôme de degré 2 donc il est scindé dans C donc admet au moins une valeur complexe)
Merci
Dans le cas de de (X-1)3 , Q(X)= (X-1)² .
J'ai l'impression que tu confonds scindé avec "à racines simples".
Cordialement.
