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Dérivée des polynômes de Legendre



  1. #1
    ujuj

    Dérivée des polynômes de Legendre


    ------

    Bonjour! Je ne parviens pas à dériver n fois (x²-1)^n afin de trouver une formule simplifiée de cette expression pour éventuellement trouver ses racines. Quelle méthode faut-il utiliser? Récurrence, binôme de Newton ou autre...? Quelqu'un pourrait-il m'aider?

    -----

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  3. #2
    GuYem

    Re : Dérivée des polynômes de Legendre

    Je pense q"une récurrence fait l'affaire.
    Précédée d'une bonne part d'intuition of course.

    Quand tu dérives une fois (x²-1)^n, il tombe un n devant et un 2x aussi et la puissance de x²-1 diminue d'un cran. Tu obtiens



    Si tu le dérives encore il tombe n-1, un autre 2x, et la puissance diminue encore.

    De là à intuiter que la dérivée nième est

    il n'y a qu'un pas. Il n'y a plus de x²-1 car il est à la puissance 0 après n dérivation

    En espérant ne pas dire de bétises.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  4. #3
    Rincevent

    Re : Dérivée des polynômes de Legendre

    Citation Envoyé par GuYem
    En espérant ne pas dire de bétises.
    j'ai pas lu ton explication en détails, mais je crois que si

    car les racines des polynômes de Legendre ne sont pas toutes nulles... la récurrence, certes, mais un changement de variable me semble un bon complément...

    [edit]tu as oublié la dérivée de (2x)...
    Ceux qui manquent de courage ont toujours une philosophie pour le justifier. A.C.

  5. #4
    ujuj

    Re : Dérivée des polynômes de Legendre

    Certes mais toi tu ne dérives pas 2nx (n-1) fois ce qui fait que tu n'as que (x²-1)^n-1 à dériver. Je pense plutôt que c'est toute ton expression que tu dois dériver. Peut-être me trompe-je...

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    matthias

    Re : Dérivée des polynômes de Legendre

    Citation Envoyé par GuYem
    De là à intuiter que la dérivée nième est

    il n'y a qu'un pas.
    Peut-être un pas de trop
    Pour n=2, ça a déjà pas l'air de marcher très fort.

  8. #6
    rvz

    Re : Dérivée des polynômes de Legendre

    Au fait, que veut faire ujuj exactement ?

    Il y a marqué dans son message : pour trouver les racines. Pas besoin de dériver n fois pour trouver les racines. D'ailleurs, moi, je ne sais dériver que 2n fois
    Sinon, le binôme de Newton donne évidemment une solution, parce que dériver un polynôme, c'est quand même facile, c'est juste pas forcément très sympathique à écrire c'est tout.

    __
    rvz

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  10. #7
    ujuj

    Re : Dérivée des polynômes de Legendre

    oui j'aurais dû le préciser mais j'ai besoin également de trouver l'ordre de multiplicité des racines de cette expression. Donc je dois vérifier que 1 et -1 n'annulent pas la dérivée nième

  11. #8
    GuYem

    Re : Dérivée des polynômes de Legendre

    Eh oui c'est les vacances, je fatigue.

    En effet je suis allé trop vite et la dérivation des 2x qui arrivent m'est passé au dessus de la tête. Du coup c'est un peu plus compliqué !
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  12. #9
    rvz

    Re : Dérivée des polynômes de Legendre

    Citation Envoyé par ujuj
    oui j'aurais dû le préciser mais j'ai besoin également de trouver l'ordre de multiplicité des racines de cette expression. Donc je dois vérifier que 1 et -1 n'annulent pas la dérivée nième
    Enfin, il me semble que c'est facile :


    Du coup, la dérivée n-ième en 1 vaut et en -1 vaut (Sous la forme que j'ai écrite, la formule de Leibniz d'ordre n te donne directement que le seul terme qui compte est celui où tu as dérivé n fois du même coté, tous les autres étant nuls.
    En plus, tu as clairement que -1 et 1 sont de multiplicité au moins n, et la somme des multiplicités doit être égale au degré, ici 2n. Donc la multiplicité est bien n.

    __
    rvz

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