Bonjour! Je ne parviens pas à dériver n fois (x²-1)^n afin de trouver une formule simplifiée de cette expression pour éventuellement trouver ses racines. Quelle méthode faut-il utiliser? Récurrence, binôme de Newton ou autre...? Quelqu'un pourrait-il m'aider?
Je pense q"une récurrence fait l'affaire.
Précédée d'une bonne part d'intuition of course.
Quand tu dérives une fois (x²-1)^n, il tombe un n devant et un 2x aussi et la puissance de x²-1 diminue d'un cran. Tu obtiens
Si tu le dérives encore il tombe n-1, un autre 2x, et la puissance diminue encore.
De là à intuiter que la dérivée nième est
il n'y a qu'un pas. Il n'y a plus de x²-1 car il est à la puissance 0 après n dérivation
En espérant ne pas dire de bétises.
j'ai pas lu ton explication en détails, mais je crois que siEnvoyé par GuYem
car les racines des polynômes de Legendre ne sont pas toutes nulles... la récurrence, certes, mais un changement de variable
[edit]tu as oublié la dérivée de (2x)...
Certes mais toi tu ne dérives pas 2nx (n-1) fois ce qui fait que tu n'as que (x²-1)^n-1 à dériver. Je pense plutôt que c'est toute ton expression que tu dois dériver. Peut-être me trompe-je...
Peut-être un pas de tropDe là à intuiter que la dérivée nième est
Pour n=2, ça a déjà pas l'air de marcher très fort.
Au fait, que veut faire ujuj exactement ?
Il y a marqué dans son message : pour trouver les racines. Pas besoin de dériver n fois pour trouver les racines. D'ailleurs, moi, je ne sais dériver que 2n fois
Sinon, le binôme de Newton donne évidemment une solution, parce que dériver un polynôme, c'est quand même facile, c'est juste pas forcément très sympathique à écrire c'est tout.
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rvz
oui j'aurais dû le préciser mais j'ai besoin également de trouver l'ordre de multiplicité des racines de cette expression. Donc je dois vérifier que 1 et -1 n'annulent pas la dérivée nième
Eh oui c'est les vacances, je fatigue.
En effet je suis allé trop vite et la dérivation des 2x qui arrivent m'est passé au dessus de la tête. Du coup c'est un peu plus compliqué !
Enfin, il me semble que c'est facile :
Du coup, la dérivée n-ième en 1 vaut
En plus, tu as clairement que -1 et 1 sont de multiplicité au moins n, et la somme des multiplicités doit être égale au degré, ici 2n. Donc la multiplicité est bien n.
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rvz
