théorème d'isomorphisme

[sasha.v]

Bonjour,
Je souhaitais démontrer que l'application psi qui à une application linéaire de E (de base B) dans E' (de base B') associe sa matrice (de la base B à la base B") est un isomorphisme. Après avoir démontré sa linéarité, je voulais montrer sa bijectivité. J'ai donc utilisé le théorème qui affirme que si E = Kev de dimension finie n (de base B = ek pour k allant de 1 à n), E' = Kev, alors pour toute famille (ej')(j allant de 1 à n) de E', il existe une unique application linéaire de E dans E' qui vérifie, pour tout j (j allant de 1 à n) f(ek)=ej'. Pour moi, l'existence et l'unicité d'une telle application suffisait à démontrer la bijectivité de psi mais visiblement, ça n'est pas le cas puisque dans toutes les démonstrations que j'ai trouvées (cf http://uel.unisciel.fr/mathematiques...re_ch4_08.html par exemple), on démontre d'abord l'injectivité de psi, puis seulement sa surjectivité grâce au théorème que j'ai cité précédemment...Ma question est donc la suivante: pourquoi ce théorème que j'ai utilisé ne suffit-il pas à prouver l'injectivité de psi en plus de sa surjectivité? Merci beaucoup d'avance pour vos réponses.
-----

[gg0]

Bonjour.

Comme on n'a pas ta preuve rédigée, difficile de savoir ....
Peut-être suffit-il, et tu l'as prouvé, peut-être as-tu raté une marche ...

Cordialement.

[sasha.v]

J'ai écrit: soit M = (mi,j) (i allant de 1 à n, j allant de 1 à p) une matrice de Mn,p(K).
Or: si E = Kev de dimension finie n (de base B = ek pour k allant de 1 à n), E' = Kev, alors pour toute famille (ej')(j allant de 1 à n) de E', il existe une unique application linéaire de E dans E' qui vérifie, pour tout j (j allant de 1 à n) f(ek)=ej'.
Donc: il EXISTE une UNIQUE application linéaire f de L(E,E') telle que pour tout j (j allant de 1 à p), f(ej) = somme pour i allant de 1 à n (mijej'). On a alors MatB,B'(f) = M. On en déduit que psi est bijective.
Où est mon erreur s'il-vous-plaît? Quelle étape ai-je manqué? Merci d'avance.

[gg0]

Ok.

A priori, on doit pouvoir faire ainsi, mais comme il n'y a pas de rapport entre ton paragraphe "Or: ..." et ton paragraphe "donc", on ne peut pas savoir si tu as une preuve en tête ou pas. Une fois que tu auras rédigé cette preuve (qui justifie le passage de Or à Donc), on pourra voir.

Bon travail !

NB : Préciser les notations au départ serait plus sympa pour les lecteurs.

[A voir en vidéo sur Futura]