Isomorphisme

invite9b650739 · 11/09/2011, 23h17

salut tout le monde,
j'ai une question..
soit X un espace pré-hilbertien, H sont complété, M sev fermé de X et de H.
on a un operateur linéaire, $\text{[math]}$ , injectif, symmétrique, et positif,et sa restriction à M est un isomorphisme,
on sait que $\text{[math]}$ , et on a noté : $\text{[math]}$ , alors on a : $\text{[math]}$

et c'est la que je ne comprend pas bien, ils disent que si M est de codimension finie, alors T est un ismorphisme sur X ????

Merci de me donner une petite aide..

**Seirios** · 12/09/2011, 08h15

Bonjour,

D'un côté, T est linéaire injectif donc $\text{[math]}$ ; de l'autre côté, la restriction $\text{[math]}$ est un isomorphisme, donc $\text{[math]}$ . Au final, on se retrouve avec $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ . Tu es sûr d'avoir correctement compris ce que tu as lu ?

invite9b650739 · 12/09/2011, 15h51

Bonjour,

ce que je n'arrive pas à comprendre, c'est qu'ici, on est en dimension infinie ( $\text{[math]}$ ), donc je ne vois pas, comment peut-on ecrire "dimX=..", et aussi, je ne vois pas ou la condition "M est de codimension finie" intervient dans la réponse..

et pour votre question, vous parlez de mon énoncé, ou de votre réponse..???

Merci encore pour votre aide...

invite9b650739 · 13/09/2011, 18h04

Bonjour à tous,

Des petites indications s'il vous plait...

Merci à l'avance.........

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**Seirios** · 14/09/2011, 08h10

ce que je n'arrive pas à comprendre, c'est qu'ici, on est en dimension infinie, donc je ne vois pas, comment peut-on ecrire "dimX=.."

La dimension d'un espace vectoriel correspond au cardinal d'une base. Donc deux espaces vectoriels sont de même dimension, c'est qu'ils admettent une base de même cardinal.

Le problème, c'est que si M est isomorphe à X* et si X est isomorphe à X*, alors M est isomorphe à X et donc M est nécessairement de codimension nulle.

invite9b650739 · 14/09/2011, 11h35

Bonjour,

Je n'ai pas bien compris votre remarque, dois-je comprendre que X serait isomorphe à X^* ssi M serait de codimension nulle, et donc ce cas la dim N=0 ..???

Merci encore une fois...

**Seirios** · 15/09/2011, 14h10

Ce que je veux dire, c'est que si l'énoncé tel qu'il est énoncé semble faux : si l'énoncé était vrai, M serait nécessairement de codimension nulle (message #5), donc il suffirait de prendre un hyperplan M pour trouver un contre-exemple.

invite9b650739 · 15/09/2011, 16h06

Bonjour,

donc vous croyez que l'énoncé est faux, et ça devrait etre:
si M est de codimension nulle, alors T est un isomorphisme sur X ..???

Merci encore..

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