Bonjour,
Soit
U={ z dans C tel que |z|=1}
R*+={z dans R tel que z>0}
des sous groupes de C*.
Soit f : C* -> U tel que f(z)=z/|z|
f est un homomorphisme de groupes mais comment montrer que f est surjectif ?
De plus, comment en déduire que C*/R*+ est isomorphe à U ?
Merci d'avance
En écrivant z=rexp(itheta), on voit bien la surjectivité, non ?
Oui, pas faux j'avais pas eu le réflexe de transformer l'expression. Merci.
Et concernant ma 2ème question, puis-je avoir la méthode si possible?
Toujours avec la notation, comment caractériser les éléments de
Avec f, non ?
C*/R*+ = {zR+* avec z dans C*} mais je ne vois pas comment en déduire quelquechose
Donc les éléments de C*/R*+ sont les demi-droites d'origine 0.
L'image par f d'un élément de C*/R*+ est l'intersection de la demi-droite qui le caractérise et du cercle unité.
f ne dépend pas du représentant choisi (on normalise) et tu as dit (montré?) que c'était un morphisme. La surjectivité se montre de la même manière que dans le cas C* -> U, l'injectivité n'est pas trop difficile à montrer.
Plutot que de caracteriser directement les elements de
Ca aide quand même d'imaginer ce qu'on manipule (enfin pour moi en tout cas
Je suis bien d'accord, mais la solution que je propose est à mon avis la plus naturelle, aussi bien pour résoudre que l'exercice, que pour "découvrir" l'interpretation que tu en fais. DOnc nos aproches ne sont pas contradictoire, la seule différence a mon avis c'est que tu "intuites" alors que "ma" solution releve d'une approche algébrique un peu plus générale..
utilisent la factorisation canonique d un morphisme
