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Isomorphisme



  1. #1
    cleminou

    Isomorphisme


    ------

    Bonjour,

    Soit
    U={ z dans C tel que |z|=1}
    R*+={z dans R tel que z>0}
    des sous groupes de C*.

    Soit f : C* -> U tel que f(z)=z/|z|
    f est un homomorphisme de groupes mais comment montrer que f est surjectif ?
    De plus, comment en déduire que C*/R*+ est isomorphe à U ?

    Merci d'avance

    -----

  2. #2
    ericcc

    Re : Isomorphisme

    En écrivant z=rexp(itheta), on voit bien la surjectivité, non ?

  3. #3
    cleminou

    Re : Isomorphisme

    Oui, pas faux j'avais pas eu le réflexe de transformer l'expression. Merci.
    Et concernant ma 2ème question, puis-je avoir la méthode si possible?

  4. #4
    ydethe

    Re : Isomorphisme

    Toujours avec la notation , comment caractériser les éléments de ?
    Je me Carl Friedrich

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    ericcc

    Re : Isomorphisme

    Avec f, non ?

  7. #6
    cleminou

    Re : Isomorphisme

    C*/R*+ = {zR+* avec z dans C*} mais je ne vois pas comment en déduire quelquechose

  8. #7
    ydethe

    Re : Isomorphisme

    Donc les éléments de C*/R*+ sont les demi-droites d'origine 0.
    L'image par f d'un élément de C*/R*+ est l'intersection de la demi-droite qui le caractérise et du cercle unité.
    f ne dépend pas du représentant choisi (on normalise) et tu as dit (montré?) que c'était un morphisme. La surjectivité se montre de la même manière que dans le cas C* -> U, l'injectivité n'est pas trop difficile à montrer.
    Je me Carl Friedrich

  9. #8
    jobherzt

    Re : Isomorphisme

    Plutot que de caracteriser directement les elements de , demandes toi simplement quel est le noyau de f, et appliques un théorème bien connu.

  10. #9
    ydethe

    Re : Isomorphisme

    Ca aide quand même d'imaginer ce qu'on manipule (enfin pour moi en tout cas )
    Je me Carl Friedrich

  11. #10
    jobherzt

    Re : Isomorphisme

    Je suis bien d'accord, mais la solution que je propose est à mon avis la plus naturelle, aussi bien pour résoudre que l'exercice, que pour "découvrir" l'interpretation que tu en fais. DOnc nos aproches ne sont pas contradictoire, la seule différence a mon avis c'est que tu "intuites" alors que "ma" solution releve d'une approche algébrique un peu plus générale..

  12. #11
    mouadelassadi

    Re : Isomorphisme

    utilisent la factorisation canonique d un morphisme

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