Transformation de Legendre

[invitec17b0872]

Bonjour bonjour !

En révisant la thermodynamique, je suis retombé sur notre très chère amie la transformation de Legendre.
Du coup pour me "distraire" (no comment) j'ai cherché à calculer quelques transformées de Legendre des fonctions usuelles.

Je redonne le principe pour vous donner les conventions que j'ai utilisées et qui risquent de ne pas être conventionnelles (!!) :
Soit une fonction f, continue dérivable, définie sur I à valeur dans J, qui à x de I associe f(x)=y. On note Cf sa courbe représentative.
On considère, en un point la tangente à Cf. Elle s'écrit de la forme (T):y(x)=a.x+b. a est le coefficient directeur de la tangente, b son ordonnée à l'origine, et on s'intéresse à la dépendance (application ? fonction ?) de b à a : b=b(a).
On est donc amené à définir une "fonction" (?) b qui à tout a associe b(a). Cette "fonction" b est la transformée de Legendre de f : b=TL[f] (pour peu qu'il soit légitime d'écrire ça comme ça, mais en pensant à la TF, ça ne me choque pas trop).


Bon d'abord désolé si je ne maitrise pas le vocabulaire application/fonction etc (pas de maths purs et durs après le bac).

Tout ça se fait sans difficulté. Mais en cherchant la TL du logarithme, j'ai remarqué que son opposée était encore un logarithme : -TL[ln(x)] varie comme ln.

D'où ma question (enfin !): existe-t-il une ou plusieurs fonctions invariantes dans la transformation de Legendre ?

Merci à vous !
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[invitec17b0872]

Bon il y en a au moins une, mais à valeur dans les complexes :
f(x)=ix²/2+r où r est quelconque (réel, complexe, on s'en moque).
D'autres idées ?

[DarK MaLaK]

Salut, je ne sais pas si on peut dire qu'il existe des fonctions invariantes par la transformation de Legendre vu qu'on change de variable, mais j'ai trouvé cette phrase sur Wikipédia :

"Thus, the only monomial whose degree is invariant under Legendre transform is the quadratic."

Mais ça ne parle que du degré de la fonction. En tout cas, ça semble confirmer que, pour les monômes, le seul résultat possible est la fonction que tu as trouvée...