Transformation de Legendre

[invitee8542a04]

Bonjour,

Je suis à la recherche d’information sur l’interprétation physique ou géométrique, plus ou moins intuitive, de la transformée de Legendre.
Je crois que la transformée de Legendre est utilisée pour créer des nouvelles fonctions avec d’autres couples de variables, plus facile à manipuler (potentiels thermodynamique à partir de TdS=dU+PdV p.ex.)
Il y a aussi une autre version qui dit que lors d’une transformation de Legendre, on assimile la surface (créée avec la fonction de départ) à son plan tangeant (Alphonse Charlier,Alain Bérard « Mécanique Analytique »,Ellipse,1989)

Je me suis demandé s’il n’y avait pas une image intuitive, facile à comprendre du premier coup, et qui rende évident l’utilisation et l’obtention de la transformation de Legendre.


Pour le plan tangeant, par exemple, on ne sait pas trop pourquoi c’est le plan tangeant et pas autre chose. Pour le changement de paramètre, c’est la technique de la transformation qui n’est pas évidente, pourquoi cette transformation et pas un autre ? Rép : parce que ça marche ! C’est justement là que je cherche quelque chose qui soit simple à expliquer le pourquoi et le comment de la transformée de Legendre.

PS.: Est-ce que si je maitrisais (ce qui n'est pas le cas) la variété centrale (plan tengeant à un point fixe (je crois ) pour les systèmes dynamiques), la transformée de Legendre me paraîtrait intuitive? (est-ce qu'il y a un lien entre les deux notions?)



Voilà, c’est un peu long, mais si quelqu’un à un indice , il m'enlèvera un épine du pied et je l'en remercie vivement
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[invite373e4c5d]

pour ce qui est du changement de variable c'est parce que ca marche en effet, mais c surtout une question de dérivée, quand tu dérive ce que tu rajoute, des termes s'annulent et laissent les variables que tu veux au début.
je pense pas qu'il y ai une explication infaillible car c'est plus une bidouille pour obtenir un truc qui te convient mieux qu'un vrai théorème !

si quelqu'un sait, ca m'interesse aussi

@++

[inviteca4b3353]

Salut,

L'intérêt de la transformation de Legendre est essentiellement d'exprimer une fonction en fonction de sa dérivée première et non de la variable elle-même. En physique, on l'utilise en mécanique analytique pour transformer les équations de Lagrange, du second ordre, en des équations du premier ordre (celles de Hamilton), plus simples à résoudre, en introduisant les moments conjugués aux coordonnées généralisées.
En thermodynamique statistique, l'introduction des potentiels thermodynamiques se fait par l'intermédiaire de transformations de Legendre.

[invitee8542a04]

Bonjour,

Tout d'abord, un grand merci beaucoup pour tous ces éclaircissement avec de nouveau points de vue

L'intérêt de la transformation de Legendre est essentiellement d'exprimer une fonction en fonction de sa dérivée première et non de la variable elle-même.

Avant, je n’avais pas vraiment compris d’où venait la transformée de Legendre.
En fait, c’est justement en mécanique que je m’intéresse à la transformée de Legendre. D’après ce que j’ai lu depuis, le hamiltonien existe lorsqu’on exploite les deux intégrales premières E=cste et p=cste.
Il y a donc des avantages à utiliser Hamilton plutôt que Lagrange :

équations du premier ordre (celles de Hamilton), plus simples à résoudre

(dans ce sens, on se rapproche des équation de Newton, qui sont aussi de 1er ordre)
- géométrisation (visualisation),
- symétrisation p-q (pourquoi c'est important?)
- méthode des perturbations
- ?

Mais y a-t-il des avantages plus importants que d’autres? ou d'autres avantages ?

La transformation de Legendre (habituelle, c’est-à-dire avec le tracé des droites à la courbe, etc…) me semble alors simplement une méthode astucieuse pour effectuer le passage du lagrangien au hamiltonien, qui est effectuée de manière plus directe par Jonathan Ferreira dans son cours de Mécanique Analytique. De plus, d’après Arnold : «La transformation de Legendre rappelle la dualité projective et les cordonnées tangentielles en géométrie algébrique» (Méthodes mathématiques pour la mécanique classique,Mir,1ère édition, p.67). La projection sur un plan ne serait donc qu’une interprétation géométrique de la transformation de Legendre et non l'essence même du passage du lagrangien au hamiltonien.

Encore juste une question : tout semble partir du lagrangien(mécanique, électromagnétisme,...), est-ce qu'il y a une méthode pour touver le lagrangien d'un système ou on le trouve plutôt par expérience et par tatonnement?

Voilà, j'espère que ce n'est pas trop long ...

[A voir en vidéo sur Futura]