Homologie simpliciale

[taladris]

Bonjour,

j'ai un soucis pour effectuer un calcul de d'homologie qui a de grandes chances d'être un résultat connu.

Soit v et k deux entiers. Je considère le complexe simplicial K ayant v sommets et si je prends k de ces sommets, le simplexe défini par ces sommets est élément de K. Quel est l'homologie du complexe?

Sur de nombreux exemples, je vois que tous les groupes sauf le dernier sont nuls. J'imagine que c'est un résultat général mais sans arriver à le montrer.

Quelqu'un aurait-il une idée de la preuve (si ce fait est exacte) ou d'une manière de mener les calculs? Ou simplement une référence?

Merci d'avance
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[Universus]

Salut,

J'aurais quelques remarques/questions à poser ; n'ayant qu'une seule référence sur le sujet, je n'ai pas nécessairement les mêmes notions des concepts abordés.

Soit v et k deux entiers. Je considère le complexe simplicial K ayant v sommets et si je prends k de ces sommets, le simplexe défini par ces sommets est élément de K.

Cela ne correspond pas à ma notion de complexe simplicial. Voici la définition donnée par le Algebraic Topology de Maunder, définition 2.3.5 :

« Un complexe simplicial géométrique est un ensemble fini de simplexes, tous contenus dans un certain espace euclidien . De plus,
(a) si est un simplexe de et est une face de , alors est dans ;
(b) si et sont des simplexes de , alors est soit vide, soit une face commune de et de . »

Cela est en conflit avec la façon dont vous avez défini votre complexe simplicial. En effet, imaginons que nous ayons un carré ABCD et un point en son centre E. On obtient un complexe simplicial K de votre façon en considérant tous les simplexes de la forme (a), (a,b) et (a,b,c) où a,b et c parcourent l'ensemble {A,B,C,D,E} (une permutation de sommets dans l'écriture représentant disons le même simplexe géométrique). Ainsi, par exemple, (A,B,C), (A,B,D) et (A,B,E) sont trois 2-simplexes de K et l'intersection des deux premiers donnent le troisième, qui n'est pas une face des deux premiers. Il faudrait donc considérer les simplexes de la forme (a,b,E), (a,E), (a,b), (a) et (E) où a et b parcourent l'ensemble {A,B,C,D} pour obtenir un complexe simplicial satisfaisant la définition que j'aie donnée ci-haut.

Sur de nombreux exemples, je vois que tous les groupes sauf le dernier sont nuls. J'imagine que c'est un résultat général mais sans arriver à le montrer.

Il faudrait peut-être préciser comment vous construisez vos groupes d'homologie. L'homologie 'ordinaire' et l'homologie réduite (on considère un groupe H_-1(X) ) ne donnent pas généralement le même 0-ième groupe d'homologie. Par exemple, tout espace topologique a un 0-ième groupe d'homologie 'ordinaire' généré par autant de générateurs qu'il y a de composantes arc-connexes dans l'espace, tandis que le 0-ième groupe d'homologie réduit d'un espace contractible est 0. Pourtant, plusieurs polyèdres satisfont l'une ou l'autre de ces deux conditions.

Bref, si vous pouviez m'éclaircir un peu. Merci.

[Universus]

Il faudrait donc considérer les simplexes de la forme [...] (a,b) [...] où a et b parcourent l'ensemble {A,B,C,D} pour obtenir un complexe simplicial satisfaisant la définition que j'aie donnée ci-haut.

Dans ce cas particulier, je dois préciser que a et b sont des sommets consécutifs du carré ABCD, sans quoi le 1-simplexe (a,b) contiendrait E dans son intérieur, ce qui ne va pas avec la définition que j'aie donnée de complexe simplicial. Autrement dit, si on a pour complexe simplicial L les 0-simplexes et 1-simplexes (A), (B), (C), (D), (A,B), (B,C), (C,D), (A,D), on peut construire le complexe simplicial K dont je parle en posant où parcourt l'ensemble des 1-simplexes de L et .

[taladris]

Salut,

merci pour tes remarques.

Cela ne correspond pas à ma notion de complexe simplicial. Voici la définition donnée par le Algebraic Topology de Maunder, définition 2.3.5 :

« Un complexe simplicial géométrique est un ensemble fini de simplexes, tous contenus dans un certain espace euclidien . De plus,
(a) si est un simplexe de et est une face de , alors est dans ;
(b) si et sont des simplexes de , alors est soit vide, soit une face commune de et de . »

Ce que j'ai utilisé s'appelle parfois un complexe simplicial abstrait (définition plus bas) et ta définition est parfois nommée complexe simplicial géométrique. L'idée, c'est que pour calculer l'homologie simpliciale d'un complexe simplicial géométrique, on a juste besoin de l'information combinatoire sous-jacente (le complexe simplicial abstrait). Réciproquement, tout complexe simplicial abstrait peut être réalisé comme complexe géométrique dans un certains

Définition d'un complexe abstrait: un complexe simplicial K sur {1,...,n} est un ensemble de parties de {1,...,N} tel que si J est élément de K, alors toute partie de J est aussi élément de K.

Il faudrait peut-être préciser comment vous construisez vos groupes d'homologie. L'homologie 'ordinaire' et l'homologie réduite (on considère un groupe H_-1(X) ) ne donnent pas généralement le même 0-ième groupe d'homologie. Par exemple, tout espace topologique a un 0-ième groupe d'homologie 'ordinaire' généré par autant de générateurs qu'il y a de composantes arc-connexes dans l'espace, tandis que le 0-ième groupe d'homologie réduit d'un espace contractible est 0.

Désolé de ne pas avoir précisé. Le 0-ème groupe d'homologie (réduit ou non) m'intéresse peu, vu qu'il est facile à calculer.

Pourtant, plusieurs polyèdres satisfont l'une ou l'autre de ces deux conditions.

J'ai perdu le fil. De quelles conditions parles-tu?

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[Universus]

Salut,

Merci pour ces précisions, j'aurais effectivement dû penser à considérer des complexes abstraits. Il est vrai par ailleurs que le 0-ième groupe d'homologie n'est pas ce qui est le plus intéressant à considérer. Pour les 'conditions', je faisais référence à 'avoir des composantes arc-connexes' (condition, pour autant que je l'imagine, tout polyèdre respecte) et à 'être contractible'. Bref, il s'agissait bien d'exemples en lien avec les considérations sur le 0-ième groupe d'homologie.

Par contre, puisqu'on considère plutôt des complexes simpliciaux abstraits, je suis un peu plus embêté et il est encore moins probable que je sois d'une quelconque aide. Néanmoins, cela soulève quelques interrogations chez moi, mais ne sachant pas comment sont reliés les groupes d'homologie d'un complexe simplicial à ceux de son abstraction (n'ayant, en plus, jamais explicitement vu de définition d'un groupe d'homologie de complexe simplicial abstrait), je ne peux vraiment formuler ces questionnement.

Enfin, la question est quand même intéressante, simplement déçu de ne pas pouvoir être plus utile!

[Universus]

Soit v et k deux entiers. Je considère le complexe simplicial K ayant v sommets et si je prends k de ces sommets, le simplexe défini par ces sommets est élément de K. Quel est l'homologie du complexe?

D'après ce que tu m'as dit, tu parles d'ici d'un complexe simplicial abstrait. Clairement que l'intérêt de considérer un complexe simplicial abstrait est dans le fait que n'importe quelles deux réalisations de ce complexe simplicial abstrait étant homéomorphes, ils sont du même type homotopique et donc leurs groupes d'homologie sont isomorphes. Ainsi, j'imagine qu'on peut définir l'homologie d'un complexe simplicial abstrait comme étant l'homologie d'une de ses réalisations.

Dans cette perspective, on peut chercher un complexe simplicial géométrique qui satisfait l'énoncé de ton problème et un qui vient à l'esprit est simplement le v-simplexe géométrique. Et dans cette perspective (à part le 0-ième groupe qui dépend de si on considère l'homologie 'ordinaire' ou réduite), il est vrai que tous les groupes d'homologie sont triviaux, sauf le v-ième groupe qui est isomorphe à .

Dis-moi si ce raisonnement te semble correct. J'ai une démonstration de cela dans ma référence, mais j'ai peur de ne pas remarquer quelque chose dans ton problème et donc de le simplifier.

[Universus]

sauf le v-ième groupe qui est isomorphe à .

Je vais peut-être trop vite ici en ne considérant pas quelques détails, mais il est bien non trivial.

[taladris]

D'après ce que tu m'as dit, tu parles d'ici d'un complexe simplicial abstrait. Clairement que l'intérêt de considérer un complexe simplicial abstrait est dans le fait que n'importe quelles deux réalisations de ce complexe simplicial abstrait étant homéomorphes, ils sont du même type homotopique et donc leurs groupes d'homologie sont isomorphes. Ainsi, j'imagine qu'on peut définir l'homologie d'un complexe simplicial abstrait comme étant l'homologie d'une de ses réalisations.

L'idée est axactement celle-ci.

Dans cette perspective, on peut chercher un complexe simplicial géométrique qui satisfait l'énoncé de ton problème et un qui vient à l'esprit est simplement le v-simplexe géométrique. Et dans cette perspective (à part le 0-ième groupe qui dépend de si on considère l'homologie 'ordinaire' ou réduite), il est vrai que tous les groupes d'homologie sont triviaux, sauf le v-ième groupe qui est isomorphe à .

Dis-moi si ce raisonnement te semble correct. J'ai une démonstration de cela dans ma référence, mais j'ai peur de ne pas remarquer quelque chose dans ton problème et donc de le simplifier.

ça ne marche que dans le cas où k=v. Là, on a un sous-complexe du (v-1)-simplexe (pour moi, v-simplexe=simplexe de dimension v mais je ne sais pas ce que tu utilises comme définition) qui est "saturé en petite dimension".

Par exemple, pour v=k+1, on a le bord du simplexe (donc le résultat est vrai). Pour v quelconque et k=2, on a le graphe complet à v sommets.

Merci pour tes idées néanmoins.

[Universus]

D'accord, je comprends maintenant où était mon erreur! Je voyais k comme parcourant l'ensemble des valeurs plus petites (ou égale) à v. Bref, pour reformuler ton problème, tu cherches l'homologie d'un complexe simplicial abstrait ayant v sommets dont le k-squelette (traduction personnelle du terme anglais k-skeleton) est saturé (si j'emploie le terme «saturé» correctement).

Serait-il possible de montrer par récurrence que si on connaît l'homologie pour un couple (v,k), on a la même pour le couple (v+1,k)? L'homologie associée au couple (k,k) est bien connue, alors il ne resterait qu'à démontrer le pas de l'induction.

Je pense que ça peut se démontre comme suit. On peut construire le complexe simplicial associé au couple (v+1,k) en considérant le complexe simplicial de (v,k) auquel on ajoute un (v+1)-ème point qu'on rattache au premier complexe simplicial à l'aide de tous les k-simplexes (à comprendre comme tu l'as exprimé dans ton précédent message). Nommons L le premier complexe simplicial, M le complexe simplicial qu'on ajoute à L et K l'union des deux. On a un trio (K;L,M) pour lequel on peut poser la séquence de Mayer-Vietoris en homologie réduite (sans préciser les homomorphismes ici):



J'imagine qu'on peut montrer que l'intersection ainsi que M ont des polyèdres contractibles, donc leur homologie réduite est triviale. De plus, la séquence précédente étant exacte, l'homomorphisme est un isomorphisme. L'homologie de L étant connue par hypothèse d'induction, on obtiendrait je pense le résultat voulu.

Cela te semble-t-il une avenue possible? Elle fonctionne dans le cas k=2, mais il m'est plus difficile de visualiser la contractibilité pour des k plus grand.

[Universus]

Décidément j'en fais des erreurs... Oui, tu as raison quand je disais v-simplexe je voulais dire (v-1)-simplexe. Par ailleurs, l'intersection de L et M n'est pas contractible, ce qui rend mon raisonnement précédent caduque.

Sinon, il semble bien qu'une réalisation du complexe K caractérisé par le couple (v,k) soit le (k-1)-squelette du (v-1)-simplexe standard, comme je pense que tu le mentionnais.