Homologie & Homotopie?

[begue]

Bonjour,

Qu’elle est la difference entre Homologie & Homotopie.

Merci de votre aide
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[begue]

Je réactive ma requête.
Merci.

[invite4ef352d8]

Salut !
euh... si tu parle des groupes d'Homotopies et d'Homologie d'un espaces topologique, alors la différences c'est essentiellement que à la base ca n'as rien à voir :S, on done des définitions différentes : d'un coté le groupe d'homotopie est obtenue en quotientant l'ensemble des application de I^n->E par la relation d'homotopie relativement au bord, les groupes d'homologie sont définit par un complexe de chaine construit sur l'ensemble des sommes formelles de q-simplex.

apres il ce trouve qu'il y a des similitudes entre les deux, notement à cause du th d'Hurewicz qui constuire un morphisme de Pin -> Hn, mais ce n'est en génral pas un isomorphisme.


si on prend l'exemple de la sphere de dimension n on a Hq=Piq=O pour tous q<n, Hn=Pin=Z, mais pour q>n, Hq=0 alors que Piq est un groupe (finit ?) non trivial qu'on ne sais pas toujours calculer, et encore moins souvent interpreter.

ou encore plus simplement H1 est abélien alors que Pi1 ne l'est pas forcement !

la question intéressante, c'est plutot de comprendre le lien entre les deux, de voir dans qu'elle cas ils sont égaux etc...


et puis, si tu parlais d'autres chose, alors précise ta question !

[martini_bird]

Salut,

le premier groupe d'homologie est l'abélianisé du groupe de Poincaré (i.e. le quotient de ce groupe par son commutateur).

Voir ces notes de cours par exemple.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[begue]

Merci à vous deux pour vos commentaires.

si tu parles des groupes d'Homotopies et d'Homologies d'un espace topologique,

Effectivement, c’est bien ma question.

Il me reste à réfléchir longuement pour tout assimiler.

Encore merci

[invite35452583]

Il fallait bien que j'intervienne sur un beau sujet comme ça
Une voie pour explorer le lien entre groupes d'homotopie et l'homologie d'un espace est de chercher comment les résultats suivants sont compatibles :
a) les morphismes d'Hurewicz ne sont ni injectifs ni surjectifs en général
b) il y a une correpondance parfaite* au plus bas degré (sauf si le groupe fondamental est non abélien où il y a tout de même le résultat rappelé par martini_bird pour les espaces connexes par arcs).
* théorème de Hurewicz : si X est (n-1)-connexe, n>1, alors le morphisme d'Hurewicz en degré n est un isomorphisme.

Ce qui suit n'est qu'une explication "à la main" (dès que j'ai une web-cam
Commençons par comprendre pourquoi le morphisme d'Hurewicz n'est pas nécessairement surjectif sauf en plus bas degré.
Le manque de surjectivité vient du fait qu'une forme fermée n'est pas nécessairement sphérique (sauf en degré 1, le manque de surjectivité à ce degré en cas de plusieurs composantes connexes est assez évidente).
exemple, un tore creux T2 (S1xS1). On H1(T2,Z)=Pi1(T2)=Z.x1+Z.x2, H2(T2,Z)=Z, Pi2(T2)=0.
En degré 1, les générateurs sont des cercles donc viennent du 1er groupe d'homotopie, par contre ces deux cercles se composent pour donner une forme fermée S1xS1 générateur du H2.
Maintenant, pourquoi les générateurs de plus bas degré en homologie sont sphériques (peuvent être décrits par une application d'une sphère dans l'espace, autrement dit viennent des groupes d'homotopie) ?
Prenons une forme fermée non sphérique, deux exemples un tore et un tore que l'on a pincé un cercle (ou de manière équivalente une sphère dont on a collé le pôle nord avec le pôle sud). Ces deux 2-formes ne sont pas shériques (ou quotient dans un revêtement d'une sphère), à quoi voit-on cela ? tout simplement parce que leurs groupes d'homologie de degré<2 ne sont pas triviaux. Maintenant, si ces 2-formes sont dans un espace simplement connexe on peut déformer ces 1-formes (ou lacets), et donc les 2- formes, afin de les rendre triviaux. En partant du tore on arrive au tore pincé (si on écrase qu'un générateur) puis à une sphère (un moyen de le voir c'est que le tore est un rectangle dont on colle bord supérieur sur le bord inférieur, dans le même sens, et bord gauche sur bord droit, quand on pince un cercle on écrase par exemple les bords gauche et droits en un seul point, on a un tore pincé, puis on écrase les deux autres bords et on obtient une sphère). Il y a d'autres 2-formes possibles mais celles-ci se distinguent toutes de la sphère en le fait que leur homologie en degré 1 (et plus finement leur groupe fondamental à ce degré) est non triviale, dans un espace 1-connexe on peut écraser ces lacets intempestifs et on se ramène à une forme sphérique.
Il en est de même en tout degré, si X est (n-1) connexe alors une forme sphérique se distingue par le fait que l'homotopie en degré<n-1 n'est pas triviale. Comme X est (n-1) connexe, on peut écraser progressivement les "repliages" intermédiaires jusqu'à obtenir une forme sphérique. Le morphisme d'Hurewicz en degré n est donc surjectif.
En plus imagée homologie on compose les formes entre elles mais il faut de la matière première pour composer et cette matière première sont les formes sphériques, en particulier en plus bas degré on ne peut avoir de la matière composée et on a donc que de la matière première.

Ce comportement de fournisseur de générateur joué par les groupes d'homotopie par le biais des formes sphériques et les combinaisons qui se réalisent au niveau de l'homologie et de la cohomologie se voient en partie sur un produit d'espace XxY, on a
H*(XxY, k)=H*(X, k) "x" H*(Y, k) où "x" désigne le produit tensoriel, tandis que l'on a une somme en homotopie.
Pour le tore on a ainsi si x1 est le génarateur du premier S1 et x2 celui du second, en degré 1 : x1"x"1 et 1"x"x1, en degré 2 : x1"x"x2 , pour l'homotopie Pi1(XxY)=Pi1(X)+Pi1(Y)=x1+x2 (avec un iso avec H1) et Pi2=0+0=0.
Le produit peut aussi être non trivial, on a affaire alors au fibré exemple S1->S3->S2 (action par conjugaison interne sur le nombre i des quaternions unitaires, homéo à S3, l'image est l'ensemble des quaternions purs unitaires, homéo à S2, la fibre est composé des quaternions unitaires commutant avec i, soit les complexes unitaires homéo à S1). On commence avec le produit d'où x1, X2, x1x2 (d°(x1)=1, d°(x2)=2, d°(x1x2)=x3 mais d(x2)=x1 d'où la suppression des termes de degré 2 et 3, il ne reste plus que x1x2 en degré 3, mais qui perd son caractère de produit. Au niveau de l'homotopie on a une longue suite exacte (qui permet de montrer que Pi3(S2)=Z, ce groupe est engendré par l'application précédente).

Ceci permet de voir un 1er exemple où une forme sphérique non homotopiquement triviale (S3->S2) est homologiquement triviale H3(S2)=0.
Voyons en un 2ème tout de suite, celui-ci n'est rien d'autre que notre tore pincé. On peut utiliser Van Kampen pour calculer le groupe fondamental mais on peut aussi en déterminer aisément le revêtement universel (qui va permettrre de surcroît d'obtenir une information sur Pi2). Son revêtement universel est un ensemble de sphères collées les unes après les autres en un point (on peut prendre l'ensemble des sphères de R3 dont le pôle nord est en (0,0,n) et le pôle sud en (0,0,n-1), donc de rayon 1/2 centré en (0,0,n-1/2) ). La fibre est Z, c'est un revêtement galoisien, le Pi1 du tore pincé est donc Z. Pour les groupes d'homotopie de degré>1, il y a un iso entre le groupe fondamental du groupe des sphères collées et du tore pincé. Or pour ces sphères collées forment un espace 1-connexe donc Pi2=H2( ,Z), en utilisant tout de suite le théorème d'Hurewicz, Ce dernier est facile à calculer c'est une somme dénombrable d'exemplaires de Z (c'est fou l'effet d'un simple pincement, ça a rendu le Pi2 de rang infini). Le calcul de H2(tore pincé) se fait aisément avec la modélisation à partir d'un rectangle préalablement donné, on obtient H2(tore pincé, Z)=Z. Le morphisme d'Hurewicz en degré 2 est donc "hautement" non injectif.

Abordons réellement désormais le manque d'injectivité du morphisme d'Hurewicz et tentons de comprendre celui-ci est néanmoins injectif en plus bas degré (si >1).
Pour une forme fermée être un bord (=homologiquement triviale) ne signifie pas être homotopiquement triviale.
Exemple : on considère un tore plein, le bord est un tore creux qui est une forme fermée qui est évidemment le bord algébrique de la somme de deux "1/2-tores" (qui sont des sphères pleines de dimension 3) (les collages sur les 2 disques médians s'annulent algébriquement). Ce bordisme crée une déformation, qui ici réduit à une 1-forme (triviale homologiquement en degré 2) mais non homotopiquement triviale.
Pour le tore pincé, prenons une application de S2->tore pincé homologiquement triviale mais non homotopiquement triviale. On coupe S2 en trois parties (basse, moyenne, haute),
on envoie la partie basse recouvrir la sphère entre (0,0,0) et (0,0,1) le pôle sud en (0,0,0) le cercle limite envoyé sur (0,0,1),
on comprime la partie moyenne en un simple segment qu'on envoie sur un chemin allant de (0,0,1) sur (0,0,2), (on y va de manière triviale)
on envoie la partie haute recouvrir la sphère entre (0,0,1) et (0,0,2) le cercle limite en (0,0,2) le pôle sud en (0,0,1).
Puis on projette tout su le tore pincé.
Homologiquement c'est trivial (on peut séparer chaque partie et faire la somme comme on veut, partie basse->+1 partie moyenne->0, partie haute->-1 total=0), par contre homotpiquement comme il y a un iso entre les Pi2 de l'espace des sphères collées et du tore pincé, et que cette application est homologiquement sur le premier x1-x2 où x1 et x2 sont les générateurs fournis par la 1ère et la deuxième sphère donc distincts, c'est non homologiquement non nul pour cet espace et donc homotpiquement non nul pour les deux.
On peut voir aussi ici que le bordisme va déformer cette application de S2 vers une application non triviale de S1->tore pincé (la partie moyenne est triviale vue comme 2-forme pas comme 1-forme !).
D'une manière générale, le bordisme déforme progressivement la forme fermée vers une, voire plusieurs*, autres formes fermées de degré<n (car la forme fermée est le bord et tout le bord donc ça finit par se "replier" en degré<n). * : plusieurs car il peut y avoir des phénomènes de "pantalon", celui-ci déforme progressivement un cercle en deux cercles.
Ainsi, en général, une classe d'un groupe d'homotopie non triviale peut néanmoins être bordée mais on a vu apparaître à chaque fois une forme de gré inférieure. Ainsi si X est (n-1)-connexe, soit une classe de degré n bordé et soit la forme de degré n+1 qui la borde. Ecrasons la forme fermée, si on aucune classe de degré<n ne peut apparaître car sont toutes triviales (à regarder de degré par degré en ordre croissant), de plus aucune classe de degré n ne peut apparaître (sinon c'est sur le bord mais celui-ci est la forme initiale qui a été écrasée). C'est donc une sphère de dimension n+1. Maintenant, rétablissons la forme fermée on a un disque et donc une homotopie de la forme fermée vers un point, la forme fermée est triviale. Au niveau technique la commutativité est importante, celle-ci est assurée pour n>1 , pour n=1, cf. le cours donné en lien par martini-bird.
Si X est (n-1)-connexe, le noyau du morphisme d'Hurewicz en degré n est donc réduit à {0} donc est injectif.

Le rôle de générateur des classes d'homotopie semblent mis à mal mais on peut remarquer :
pour S2, on a une classe en cohomologie de degré 2 dont le carré n'a aucune raison algébrique d'être nul, il faut quelque chose de non trivial en degré 3 pour l'annuler (le coborder) c'est le rôle du générateur du générateur du Pi3.
Pour le tore pincé, on a une classe x de degré 1 (homotopie-homologie-cohomologie) une classe y0 de degré 2 (homologie-cohomologie) qui est sphérique (évident surtout après ce qui a été vu), le produit en cohomologie xy0 n'a aucune raison algébrique d'être nul, il faut un y1 de degré 2 pour "tuer" (jargon de la topologie algébrique, désolé), mais sy1 ... d'où un y2, mais xy2.. d'où un y3... ainsi de suite d'où une infinité dénombrable de clases de degré 2 non triviale (ce sont les classes d'homotopie surnéméraires).
Pour le tore x1, x2 de degré 1, x1x2 le produit non nul (non sphérique) les autres produits sont naturellement nuls (un carré d'une forme impaire en caractériqtique nulle est nul). Il n'y a aucune classe produit à tuer il n'y a pas de classe d'homotpie autres que celles correpondants à x1 et x2.

Ceci ajouté à ceci montre que beaucoup mais pas tout est dans les groupes d'homotopie ou dans l'homologie ou dans la cohomologie :
pour un ensemble donné de groupes An (abélien si n>2) il existe plusieurs espaces X, qui peuvent être des CW-complexes ou complexes cellulaires, possibles (non homotopes entre eux) pour lesquels le n-ème groupe d'homotopie est isomorphe à An, toute l'information sur la topologie n'est pas dans ces groupes (on a la même chose pour l'homologie et son "dual" la cohomologie même munie du cup-produit...).
Par contre, théorème de Whitehead, si X et Y sont des CW-complexes, et si f : X->Y est une application continue dont les morphismes induits entre les groupes d'homotopie sont tous des isos alors X et Y ont même type d'homotopie, f est une équivalence d'homotopie entre eux. Les groupes d'homotopie semblent néanmoins contenir une grande partie de cette information. (on a le même résultat, si on prend en degré 1 non pas la seule homologie ou cohomologie mais le groupe fondamental).

[invite35452583]

Pour la partie libre, on a ceci qui résume tout (ou presque) :
à tout espace du type d'homotopie d'un CW-complexe (tout du moins si le groupe fondamental est abélien et agit trivialement sur les autres groupes d'homotopie*) X est associé à homotopie près un unique espace (CW-complexe lui aussi) X_Q et un morphisme telle que f soit un iso de PIn(X)"x"Q sur Pi(X_Q), toute l'information est dans ce X_Q. Une application f de X dans un espace rationnel Y (tous les groupes d'homotopies sont des Q-ev ce qui équivaut à tous les groupes d'homologie à coeff dans Z sont des Q-ev ce qui équivaut à la cohomologie est aussi ainsi) peut se décompose (à homotopie près) en X->X_Q->Y.
Maintenant pour ces espaces rationnels, on considère le complexe de cochaines de cohomologie C*(X,Q)=C^0(X,Q)->C^1(X,Q)->C^2(X,Q)->... (plus le cup-produit), un tel complexe est appelé modèle, on simplifie non en quotientant "brutalement" mais en considérant les équiavlences de modèle : un modéle est équivalent à un autre si on a une suite d'applications et de modèles M=M1->M2<-M3->M4...jusque Mn=M' où chaque flèche est un morphisme d'algèbre graduée commutative induisant en cohomolgie (en quotientant formes fermées/cobords) un iso d'algèbres graduées commutatives.
Il y a correpondance parfaite entre la topologie des espaces rationnels et les modèles. Il y a correspondance biunivoque entre les modèles (à équivalence près) et les espaces rationnels (à homotopie près). ainsi qu'entre morphisme entre modèles et applications entre espaces. On a notamment, deux espaces rationnels sont du même type d'homotpie si et seulement si il existe un morphisme d'algèbre commutative induisant un iso en cohomologie entre deux modèles de ces espaces.
Dans la classe d'équivalence définie ci-dessu de modèle il existe un unique ([S]à isomorphisme[/S] d'algèbre près) modèle minimal, un modèle minimal est un modèle tel que :
1) l'algèbre est une algèbre graduée commutative libre engendrée par des formes pures (d'un degré donné), (càd l'algèbre est engendré par des xi avec l'unique condition xixj=(-1)^ijxjxi, ce qui implique qu'un produit mixte xixj n'est jamais nul, que le carré xi² est non nul si xi est de degré pair mais nul qi xi est de degré impair)
2) la différentielle des générateurs des xi est soit nul soit dans la sous-algèbre engendrée (en tant qu'algèbre l'élélement unité 1 de degré 0 est toujours présent) par les produits d'au moins deux générateurs (les dxi=xj sont supprimées, en gros il ne reste que les différentielles essentielles)
L'homotopie de l'espace est la somme des xi, la cohomologie de l'espace est la cohomologie du modèle, l'homologie de l'espace est le dual algébrique de la cohomologie.
On retrouve aisément cette fois tous les résultats (y compris la nécessité d'un morphisme entre espace, il ne suffit pas d'avoir les mêmes générateurs, =mêmes groupes d'homotopie, encore faut-il qu'ils se comportent au niveau de la différentielle de la même manière pour qu'il ya ait un morphisme entre modèles mais s'il y a un morphisme entre modèles avec iso sur générateur alors il n'y apas d'autres possibilités qu'une équivalence de modèles, ce n'st pas trivial mais ça se sent bien quand on cherche à manipuler ces modèles).
Exemples : les sphères
impaires xn engendre H^n et Pin, le carré est nul, pas d'autre classe en cohomologie, le modèle se réduit à l'algèbre engendrée par xn, d(xn)=0.
paires, xn engendre H^n et Pin, mais le carré est non nul il faut une classe x(2n-1) pour tuer x2n car H^(2n)=0. Après ajout de x(2n-1) avec d(x(2n-1))=xn² la cohomologie est celle voulue, on ne peut rien ajouter de non trivial (genre xi et xj avec dxi=xj), le modèle minimal est engendré par xn, x(2n-1) avec dxn=0 dx(2n-1)=xn². (d'où un rang(Pi3(S2))=1)
Dans les deux cas on voit qu'il n'y a qu'un modèle possible pour la cohomologie donnée (ce qui correspond à la sphère est l'unique espace ayant son homologie), en particulier (H*(sphère),0) appartient à la classe des modèles (mais n'est minimal que pour les sphères impaires), on appelle cela des espaces rationnellement formels (autres exemples de tels espaces formels : les rationnalisés des groupes de Lie et les quotients des paires de Cartan, pour ces derniers c'est même une équivalence, là on s'éloigne du sujet initial mais je ne pouvais résister à une ballade à la frontière de mon ancien sujet de recherche ).
Le cas du tore pincé montre comment une homologie relativement simple peut néanmoins posséder des groupes d'homotopie non triviaux (je laisse le calcul des Pin, n>2) quoique très compréhensible dans le cadre des modèles (on a vu comment une classe de degré 1 et une classe de degré 2 en homologie et donc en cohomologie engendrent une infinité de génarteurs en degré 2). Un exemple très simple d'une homotopie très simple mais d'une (co)homologie moins simple est l'espace projectif complexe infini : un générateur en degré 2 engendre une algèbre infinie car aucune calsse d'homotopie ne vient tuer la moindre puissance du génaretur de degré 2, le modèle de CPn est deux générateurs x2 et x(2n+1) d(x2)=0 d(x(2n+1))=x(2n+2), à l'infini x(2n+1) n'existe plus).


Pour le cas de la torsion, il existe ausi des modèles pour Fp, p premier, les modèles rationnels ont été établis dans les années 50 (par Sullivan, ces modèles portent son nom), il reste des questions ouvertes dans ce domaine néanmoins, pour les Fp c'est plus récent courant 90' pour la miose au point, deux points essentiellement différencient : le modèle minimal n'est plus une algèbre graduée commutative mais une algèbre tensorielle (les carrés ne s'annulent donc plus systématiquement par des propriétés algébriques) et on doit "tordre" le produit de la différentielle dans les modèles mais l'idée générale reste la même (homotopie=générateur, cohomologie=algèbre engendrée quotientée par les différentielles induites par celles des formes sphériques).
Il n'existe pas encore l'équivalent de ces modèles pour Z (ça va être clairement beaucoup plus difficile mais on avance , pour preuve le résultat relativement récent pour les Fp).

En espérant avoir un peu éclairci le lien entre homotopie et homologie (et en rappelnt que ceci n'est qu'une idée générale non manipulable sans pincette càd sans se plonger dans les détails techniques).

Bonne année à tous.

[invite4ef352d8]

Homotopie : "théorème de Hurewicz : si X est (n-1)-connexe, n>1, alors le morphisme d'Hurewicz en degré n est un isomorphisme"

que signifie (n-1) -connexe ?

[invite35452583]

Homotopie : "théorème de Hurewicz : si X est (n-1)-connexe, n>1, alors le morphisme d'Hurewicz en degré n est un isomorphisme"

que signifie (n-1) -connexe ?

Tous les groupes d'homotopie de degré<n (y compris 0, càd l'espace est connexe par arcs) sont triviaux.

[invite4ef352d8]

euh... avec la définition des groupes d'homotopies que j'ai vu, Ho est égal a Z pour un espace connexe.

[invite35452583]

euh... avec la définition des groupes d'homotopies que j'ai vu, Ho est égal a Z pour un espace connexe.

H₀ oui mais pas qui lui est l'ensemble des classes d'homotopie pointée de la sphère de dimension 0 (càd {-1;1} ou {0,1}) dans X qui est bien réduit à un seul élément si X est connexe par arcs.

[invite2ac85754]

Bonjour,

Je me permets d'apporter quelques précisions d'ordre intuitif
et historique.

Les invariants de nature homologique sont les premiers
découverts historiquement. Un exemple typique est
le genre des surfaces de Riemann (lié à la caractéristique
d'Euler-Poincaré), autrement dit, le nombre de trous dans une
surface réelle compacte orientable.
D'une manière générale, les problèmes de dénombrement
(du type: calculer en combien de points deux courbes algébriques
s'intersectent dans le plan) sont des problèmes de nature
homologique. C'est Poincaré qui a dégagé la notion de groupe
d'homologie, qui permet un traitement systématique de ce type
de question. A l'origine, les groupes d'homologie étaient
définis en considérant des cycles de variétés, c'est-à-dire,
des sommes formelles de sous-variétés fermées raisonnables
(l'analogue de ces constructions est encore d'actualité en géométrie
algébrique sous la forme de groupes de Chow). Cette définition
est un peu plus complexe à comprendre, mais beaucoup plus
proche par définition de la problématique de la théorie de
l'intersection. C'est seulement plus tard que les groupes
d'homologie ont été définis en termes de simplexes.
Poincaré a aussi remarqué que les invariants homologiques
ne sont pas assez fins dans certains cas. Il a introduit le premier
groupe d'homotopie (appelé parfois du coup groupe de Poincaré)
en termes de lacets à homotopie (i.e. déformation continue) près.
L'idée, c'est que les invariants homotopiques sont plus fins
que les invariants homologiques. On le voit avec le
théorème de Hurewicz en degré un: le premier groupe d'homologie
est l'abélianisé du premier groupe d'homotopie.
En particulier, le premier groupe d'homologie
est un quotient du premier groupe d'homotopie. On a donc
perdu de l'information en passant du point de vue homotopique
vers le point de vue homologique. En fait, si on formule convenablement
les choses, on peut toujours retrouver les invariants homologiques
à partir des invariants homotopiques. L'intérêt de considérer des invariants
plus grossier comme l'homologie, c'est qu'ils sont plus facile
à comprendre (i.e. à calculer), justement parce qu'ils contiennent
moins d'information, tout enconservant des propriétés et des structures
qualitatives très significatives (comme la dimension, la dualité de Poincaré).

Puisqu'Homotopie a mentionné les travaux de Dennis Sullivan, je me permet
aussi quelques commentaires là-dessus. Ces travaux dates du début des
années 1970 (ils ont été annoncés au congrès international des
mathématiciens à Tokyo en 1973), et ont été développés aussi par Pierre
Deligne et Daniel Quillen dans la foulée. Ce qui est en jeu ici, c'est la notion
de cohomologie (que l'on peut interpéter succintement comme le dual de
l'homologie). L'intérêt de la cohomologie, bien qu'elle soit un peu moins
naturelle, c'est qu'elle capture essentiellement les mêmes informations que
l'homologie, mais avec une structure supplémentaire: les groupes de
cohomologie sont munis canoniquement d'un produit commutatif
(au signe près), si bien que les groupes de cohomologie forment un
anneau commutatif (toujours au signe près). Il est remarquable que
cette structure d'anneau est très liée à la théorie de l'intersection
à l'origine de l'homologie (par la dualité de Poincaré).
Les travaux de Sullivan montrent que le complexe de cohomologie muni
de cette structure d'anneau "commutatif" capture le type d'homotopie
rationel des variétés simplement connexes. Le problème,
si l'on veut généraliser les résultats de Sullivan sans restriction des
coefficients, c'est que le produit sur le complexe de cohomologie à
coefficients entiers ne peut pas être commutatif au signe près
au sens strict (obstruction qui était déjà connue à l'époque).
Toute la saveur du problème était alors de savoir en quel sens un peu
généralisé le produit de la cohomologie à coefficient entiers pouvait être vu
comme commutatif.
Il y a à ma connaissance trois points de vue différents (mais équivalents
en un certain sens) qui résolvent le problème.
- Torsten Ekedahl résout le problème en considérant le complexe
de cohomologie comme une algèbre cosimpliciale à puissance divisée
(voir http://www.intlpress.com/HHA/v4/n2/a8/).
- Michael Mandell considère une structure
sur le complexe de cohomologie singulière
(voir son papier publié aux Publications Mathématiques de l'IHES en
2006 http://front.math.ucdavis.edu/0311.5016).
- Max Karoubi définit une notion d'algèbre différentielle graduée
quasi-commutative (voir son papier à paraître dans
Pure and Applied Math. Quarterly en 2008
http://www.math.jussieu.fr/~karoubi/Publications/73.pdf).

Cordialement,

specieuse

[invite35452583]

Merci spécieuse pour ces informations et de corriger mon erreur de datation (l'histoire et moi, c'est pas terrible).
Pardon à MM Quillen et Deligne de ne pas les avoir cités.
Heureux que les travaux aient avancé plus vite que je ne le pensais, ça me fait de la lecture pour ces soirées d'hiver (en espérant que je n'ai pas trop perdu pour arriver à comprendre au moins partiellement).