Isomorphisme de (R,+) et (C,+)
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Isomorphisme de (R,+) et (C,+)



  1. 17/10/2006, 08h24 #1
    invite6acfe16b

    Isomorphisme de (R,+) et (C,+)


    ------

    Bonjour,

    Dans un ancien fil, j'avais posé un petit exercice qui n'avait pas reçu de réponse. Comme je le trouve très intéressant, je me permet de vous le redonner :

    Montrer que les groupes et sont isomorphes.

    -----
  2. 17/10/2006, 08h48 #2
    invite6de5f0ac

    Re : Isomorphisme de (R,+) et (C,+)

    Bonjour,

    Je veux bien essayer mais je ne vois pas comment démarrer... J'ai déjà renoncé à expliciter une bijection de R sur C (ou l'inverse) qui soit compatible avec l'addition, mais bon, je vais réfléchir.

    -- françois
  3. 17/10/2006, 08h52 #3
    invite6acfe16b

    Re : Isomorphisme de (R,+) et (C,+)

    Citation Envoyé par fderwelt Voir le message
    J'ai déjà renoncé à expliciter une bijection de R sur C (ou l'inverse) qui soit compatible avec l'addition,
    En fait, il suffit de montrer qu'il en existe une. Un indice se trouve dans le titre de l'autre fil sur lequel j'avais posé la question.
  4. 17/10/2006, 09h14 #4
    invite4793db90

    Re : Isomorphisme de (R,+) et (C,+)

    Salut,

    j'avais pensé simplement qu'ils sont isomorphes en tant que -espaces vectoriels, et donc en tant que groupes par oubli de structure...

    J'ai craqué ?

    EDIT : je ne crois pas qu'un tel isomorphisme peut être continu, car on aurait un isomorphisme de groupes topologiques et il me semble que la dimension (topologique) est conservée dans ce cas. Me trompé-je à nouveau ?
  5. Aujourd'hui
    A voir en vidéo sur Futura
  6. 17/10/2006, 09h20 #5
    invitedf667161

    Re : Isomorphisme de (R,+) et (C,+)

    Comment vois-tu qu'ils sont isomorphes en tant que Q espace vectoriels ?

    Ton argument topologique me convainc pour montrer qu'un tel ismorphisme ne sera pas continu.
  7. 17/10/2006, 09h24 #6
    invite4793db90

    Re : Isomorphisme de (R,+) et (C,+)

    Comment vois-tu qu'ils sont isomorphes en tant que Q espace vectoriels ?
    En supposant l'axiome du choix, on peut construire une base pour chaque, et elles auront le même cardinal, puisque . Après, ça me semble logique que deux ev qui admettent des bases de même cardinal sont isomorphes, non ?

    Cordialement.
  8. 01/06/2024, 10h35 #7
    Abdellah7

    Re : Isomorphisme de (R,+) et (C,+)

    bonjour
    je suis intéressé d'avoir la réponse Montrer que les groupes additifs R et C sont isomorphes.
    en tant que R-ev et Q-ev ?
    + ça implique qu'ils ont la même dimension ?
    merci d'avance
  9. 01/06/2024, 10h39 #8
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Isomorphisme de (R,+) et (C,+)

    Bonjour.

    Comme R-ev, pas d'isomorphisme, puisque R est de dimension 1 et C de dimension 2.
    Comme Q-ev, pas de problème, ils sont de dimension infinie.

    Cordialement.
  10. 01/06/2024, 11h09 #9
    Abdellah7

    Re : Isomorphisme de (R,+) et (C,+)

    tu veux dire avec " pas de problème " qu'ils sont isomorphes ou juste on peut avoir un isomorphisme ?
  11. 01/06/2024, 12h52 #10
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Isomorphisme de (R,+) et (C,+)

    Je répondais à ta question : "ça implique qu'ils ont la même dimension ?"
    Sinon, sur l'existence d'un isomorphisme de Q ev entre R et C, la réponse est au dessus.
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