Isomorphisme de (R,+) et (C,+)

invite6acfe16b · 17/10/2006, 07h24

Bonjour,

Dans un ancien fil, j'avais posé un petit exercice qui n'avait pas reçu de réponse. Comme je le trouve très intéressant, je me permet de vous le redonner :

Montrer que les groupes $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont isomorphes.

invite6de5f0ac · 17/10/2006, 07h48

Bonjour,

Je veux bien essayer mais je ne vois pas comment démarrer... J'ai déjà renoncé à expliciter une bijection de R sur C (ou l'inverse) qui soit compatible avec l'addition, mais bon, je vais réfléchir.

-- françois

invite6acfe16b · 17/10/2006, 07h52

Envoyé par fderwelt

J'ai déjà renoncé à expliciter une bijection de R sur C (ou l'inverse) qui soit compatible avec l'addition,

En fait, il suffit de montrer qu'il en existe une. Un indice se trouve dans le titre de l'autre fil sur lequel j'avais posé la question.

**invite4793db90** · 17/10/2006, 08h14

Salut,

j'avais pensé simplement qu'ils sont isomorphes en tant que $\text{[math]}$ -espaces vectoriels, et donc en tant que groupes par oubli de structure...

J'ai craqué ?

EDIT : je ne crois pas qu'un tel isomorphisme peut être continu, car on aurait un isomorphisme de groupes topologiques et il me semble que la dimension (topologique) est conservée dans ce cas. Me trompé-je à nouveau ?

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**GuYem** · 17/10/2006, 08h20

Comment vois-tu qu'ils sont isomorphes en tant que Q espace vectoriels ?

Ton argument topologique me convainc pour montrer qu'un tel ismorphisme ne sera pas continu.

**invite4793db90** · 17/10/2006, 08h24

Comment vois-tu qu'ils sont isomorphes en tant que Q espace vectoriels ?

En supposant l'axiome du choix, on peut construire une base pour chaque, et elles auront le même cardinal, puisque $\text{[math]}$ . Après, ça me semble logique que deux ev qui admettent des bases de même cardinal sont isomorphes, non ?

Cordialement.

**Abdellah7** · 01/06/2024, 09h35

bonjour
je suis intéressé d'avoir la réponse Montrer que les groupes additifs R et C sont isomorphes.
en tant que R-ev et Q-ev ?
+ ça implique qu'ils ont la même dimension ?
merci d'avance

**gg0** · 01/06/2024, 09h39

Bonjour.

Comme R-ev, pas d'isomorphisme, puisque R est de dimension 1 et C de dimension 2.
Comme Q-ev, pas de problème, ils sont de dimension infinie.

Cordialement.

**Abdellah7** · 01/06/2024, 10h09

tu veux dire avec " pas de problème " qu'ils sont isomorphes ou juste on peut avoir un isomorphisme ?

**gg0** · 01/06/2024, 11h52

Je répondais à ta question : "ça implique qu'ils ont la même dimension ?"
Sinon, sur l'existence d'un isomorphisme de Q ev entre R et C, la réponse est au dessus.

Isomorphisme de (R,+) et (C,+)

Isomorphisme de (R,+) et (C,+)

Re : Isomorphisme de (R,+) et (C,+)

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