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Isomorphisme de (R,+) et (C,+)



  1. #1
    Sylvestre

    Isomorphisme de (R,+) et (C,+)


    ------

    Bonjour,

    Dans un ancien fil, j'avais posé un petit exercice qui n'avait pas reçu de réponse. Comme je le trouve très intéressant, je me permet de vous le redonner :

    Montrer que les groupes et sont isomorphes.

    -----

  2. #2
    fderwelt

    Re : Isomorphisme de (R,+) et (C,+)

    Bonjour,

    Je veux bien essayer mais je ne vois pas comment démarrer... J'ai déjà renoncé à expliciter une bijection de R sur C (ou l'inverse) qui soit compatible avec l'addition, mais bon, je vais réfléchir.

    -- françois
    Les optimistes croient que ce monde est le meilleur possible. Les pessimistes savent que c'est vrai.

  3. #3
    Sylvestre

    Re : Isomorphisme de (R,+) et (C,+)

    Citation Envoyé par fderwelt Voir le message
    J'ai déjà renoncé à expliciter une bijection de R sur C (ou l'inverse) qui soit compatible avec l'addition,
    En fait, il suffit de montrer qu'il en existe une. Un indice se trouve dans le titre de l'autre fil sur lequel j'avais posé la question.

  4. #4
    martini_bird

    Re : Isomorphisme de (R,+) et (C,+)

    Salut,

    j'avais pensé simplement qu'ils sont isomorphes en tant que -espaces vectoriels, et donc en tant que groupes par oubli de structure...

    J'ai craqué ?

    EDIT : je ne crois pas qu'un tel isomorphisme peut être continu, car on aurait un isomorphisme de groupes topologiques et il me semble que la dimension (topologique) est conservée dans ce cas. Me trompé-je à nouveau ?
    Dernière modification par martini_bird ; 17/10/2006 à 08h17.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    GuYem

    Re : Isomorphisme de (R,+) et (C,+)

    Comment vois-tu qu'ils sont isomorphes en tant que Q espace vectoriels ?

    Ton argument topologique me convainc pour montrer qu'un tel ismorphisme ne sera pas continu.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  7. #6
    martini_bird

    Re : Isomorphisme de (R,+) et (C,+)

    Comment vois-tu qu'ils sont isomorphes en tant que Q espace vectoriels ?
    En supposant l'axiome du choix, on peut construire une base pour chaque, et elles auront le même cardinal, puisque . Après, ça me semble logique que deux ev qui admettent des bases de même cardinal sont isomorphes, non ?

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

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