isomorphisme d'anneau

[invitea77054e9]

Bonjour,

Dans le cadre d'un cours sur les structures algébriques niveau deuxieme année, mon prof m'a demandé d'exhibé un isomorphisme de Z/abZ dans Z/aZ X Z/bZ, où a et b sont premier entre eux.

J'en ai trouvé deux, à savoir:

f: x -> (x+aZ,x+bZ)
et
g: x -> (u+aZ,v+bZ) . J'ai défini u et v comme suit: puisque a et b sont premier entre eux, il existe u et v tels que au+bv=x .

Mon prof semble convaincu que ces deux applications sont totalement équivalentes, mais il n'a pas encore réussi à le montrer . J'ai beau cherché, je ne comprend pas ce que le pousse à croire cela.
Si quelqu'un pouvait confirmer ou infirmer sa position, ça m'aiderait grandement.
Merci d'avance.
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[invite48af87b5]

Bonsoir.

Non, c'est pas les mêmes. (après, tout dépend de ce qu'on appelle équivalent).

Le premier c'est juste prendre un nombre modulo ab et le considérer modulo a et modulo b.

Le deuxième est en fait la réciproque de l'application qui à un nombre x modulo a et un nombre y modulo b associe bx+ay (modulo ab). Sa formule correcte est d'ailleurs x->(v+aZ,u+bZ).

Exemple : prends a=2, b=3. alors -a+b=1.
f(1) = (1+2Z,1+3Z)
g(1) = (1+2Z,2+3Z)

[invitea77054e9]

Merci Hedron, j'avais meme pas penser à trouver un contre exemple simple.
Parfois les prof peuvent avoir de ces idées .