Isomorphisme d'anneaux

[invitebb921944]

Bonjour !

Je dois montrer que si K est un corps,
K[X]/(X²+1)=K[X]/(X²+2x+2) (isomorphes)

f : K[X]->CxC qui à P->(P(i),P(-i))
Le problème si je fais ça, c'est que f n'a aucune raison d'être surjective a priori.

Et si je prends f : K[X]->ZxZ qui à P->(P(i),P(-i))... Bah c'est pas défini puisque P(i) n'a aucune raison d'être dans Z.

Dois-je montrer que l'image de f dans le premier cas est la même que l'image de g : K[X]->CxC qui à P->(P(-1+i),P(-1-i)) ?
Ca me semble difficile...

C désigne l'ensemble des complexes dans mon texte.

(pour les curieux, j'ai tjs un petit problème dans mon topic : exercices sur les anneaux)

Merci d'avance !
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[invite35452583]

X²+2X+2=(X+1)²+1
Passes par f : K[X]->K[X] f(P)=P(X+1), il est un isomorphisme qui envoie ce qui faut sur ce qui faut.

[invitebb921944]

X²+2X+2=(X+1)²+1
Passes par f : K[X]->K[X] f(P)=P(X+1), il est un isomorphisme qui envoie ce qui faut sur ce qui faut.

J'avoue que je ne vois pas du tout comment m'en sortir avec ce morphisme !
f(P)=0 <=> P(X+1)=0 <=> P=???

[invite35452583]

J'avoue que je ne vois pas du tout comment m'en sortir avec ce morphisme !
f(P)=0 <=> P(X+1)=0 <=> P=???

pour une fois la manière la plus simple de montrer que c'est un isomorphisme se fait en exhibant un morphisme inverse.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebb921944]

Je ne comprends absolument rien.
Et plus je relis tous les posts, moins je vois le lien entre eux

[invite4ef352d8]

Bon,

t'es d'accord que P->P(X+1) est un isomorphisme de K[X]->K[X] ?


en le composant à la surjection canonique de K[X]->K[X]/(x²+2x+2)

donc on a une surjection f:P-> classe de P(X+1) dans K[X]/(x²+2x+2)


le noyaux de f est l'ensemble de P telle que x²+2x+2 |P(X+1) ie des x²+1|P(X)

et f induit un isomorphisme de K[X]/ker f=K[X]/(x²+1) -> Imf=K[X]/(x²+2x+2)

explicitement, il s'agit de l'application, qui a classe de P dans K[X]-> classe de P(X+1) dans K[X]/(x²+2x+2)

[invitebb921944]

Ah oui c'est très fort.
Je vais essayer de généraliser la méthode pour d'autres exemples parce que je ne trouve pas ça très intuitif pour le moment...

Merci beaucoup à tous les deux !