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Isomorphisme d'anneaux



  1. #1
    invite43219988

    Isomorphisme d'anneaux


    ------

    Bonjour !

    Je dois montrer que si K est un corps,
    K[X]/(X²+1)=K[X]/(X²+2x+2) (isomorphes)

    f : K[X]->CxC qui à P->(P(i),P(-i))
    Le problème si je fais ça, c'est que f n'a aucune raison d'être surjective a priori.

    Et si je prends f : K[X]->ZxZ qui à P->(P(i),P(-i))... Bah c'est pas défini puisque P(i) n'a aucune raison d'être dans Z.

    Dois-je montrer que l'image de f dans le premier cas est la même que l'image de g : K[X]->CxC qui à P->(P(-1+i),P(-1-i)) ?
    Ca me semble difficile...

    C désigne l'ensemble des complexes dans mon texte.

    (pour les curieux, j'ai tjs un petit problème dans mon topic : exercices sur les anneaux)

    Merci d'avance !

    -----

  2. #2
    homotopie

    Re : Isomorphisme d'anneaux

    X²+2X+2=(X+1)²+1
    Passes par f : K[X]->K[X] f(P)=P(X+1), il est un isomorphisme qui envoie ce qui faut sur ce qui faut.

  3. #3
    invite43219988

    Re : Isomorphisme d'anneaux

    X²+2X+2=(X+1)²+1
    Passes par f : K[X]->K[X] f(P)=P(X+1), il est un isomorphisme qui envoie ce qui faut sur ce qui faut.
    J'avoue que je ne vois pas du tout comment m'en sortir avec ce morphisme !
    f(P)=0 <=> P(X+1)=0 <=> P=???

  4. #4
    homotopie

    Re : Isomorphisme d'anneaux

    Citation Envoyé par Ganash Voir le message
    J'avoue que je ne vois pas du tout comment m'en sortir avec ce morphisme !
    f(P)=0 <=> P(X+1)=0 <=> P=???
    pour une fois la manière la plus simple de montrer que c'est un isomorphisme se fait en exhibant un morphisme inverse.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite43219988

    Re : Isomorphisme d'anneaux

    Je ne comprends absolument rien.
    Et plus je relis tous les posts, moins je vois le lien entre eux

  7. #6
    Ksilver

    Re : Isomorphisme d'anneaux

    Bon,

    t'es d'accord que P->P(X+1) est un isomorphisme de K[X]->K[X] ?


    en le composant à la surjection canonique de K[X]->K[X]/(x²+2x+2)

    donc on a une surjection f:P-> classe de P(X+1) dans K[X]/(x²+2x+2)


    le noyaux de f est l'ensemble de P telle que x²+2x+2 |P(X+1) ie des x²+1|P(X)

    et f induit un isomorphisme de K[X]/ker f=K[X]/(x²+1) -> Imf=K[X]/(x²+2x+2)

    explicitement, il s'agit de l'application, qui a classe de P dans K[X]-> classe de P(X+1) dans K[X]/(x²+2x+2)

  8. #7
    invite43219988

    Re : Isomorphisme d'anneaux

    Ah oui c'est très fort.
    Je vais essayer de généraliser la méthode pour d'autres exemples parce que je ne trouve pas ça très intuitif pour le moment...

    Merci beaucoup à tous les deux !

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