Résistance des matériaux. Probleme d'anneau !

[invite9125e29b]

Bonjour a tous, voici mon problème, avec l'espoir (fou) que quelqu'un pourra m'aider :
Dans un système de n forces (idéal, plan, sans perturbation -un cas d'école quoi-) des câbles sont accrochés à un anneau métallique, le système est équilibré (voir illustration) la question est : avec quelle équation calculer la résistance nécessaire et suffisante de l'anneau ?

Cette –fameuse- équation devrait également fonctionner pour calculer la résistance nécessaire et suffisante de l'anneau si le système était composé de poutres métalliques comprimant l’anneau (à la place des câbles tirant vers l’extérieur).

Voici le sujet exposé , j’espère vraiment trouver ici l’aide donc j’ai besoin, merci d’avance a tous

Dom.
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[chaverondier]

Dans un système de n forces (idéal, plan, sans perturbation -un cas d'école quoi-) des câbles sont accrochés à un anneau métallique, le système est équilibré (voir illustration) la question est : avec quelle équation calculer la résistance nécessaire et suffisante de l'anneau ?

Cette –fameuse- équation devrait également fonctionner pour calculer la résistance nécessaire et suffisante de l'anneau si le système était composé de poutres métalliques comprimant l’anneau (à la place des câbles tirant vers l’extérieur).

Quand il y a deux forces F opposées qui tirent l'anneau, le moment de flexion maximal de l'anneau vaut M=F R
où R désigne son rayon et F l'intensité de la force de traction
d'où la contrainte de flexion sigma = M/(I/v) (1)
I/v = module de flexion de l'anneau

Dans un certain nombre de cas typiques on trouve les formules dans le Roark, un formulaire de RDM très bien fait.

Si on veut s'amuser à faire un calcul analytique, c'est possible, mais pas commode. On doit créer autant de coupures fictives (libération de degrés de liaison hyperstatiques) qu'il y a d'hyperstatismes et définir les inconnues hyperstatiques associées, puis exprimer la déformation de l'anneau en fonction des actions connues et inconnues et enfin éliminer les inconnues hypersatiques grâce à l'expression des conditions de continuité (continuité de l'anneau) au niveau des coupures fictives introduite. C'est un calcul qui n'a pas beaucoup d'intérêt dans les cas peu symétriques (trop compliqué). Il vaut mieux le remplacer par un cas présentant plus de symétrie mais plus pénalisant pour se faire une idée.

Par exemple on a un calcul très pénalisant (donc conservatif) mais très simple en mettant la moitié des forces d'un côté et l'autre moitié de l'autre côté. Cela donne un moment de flexion M= FR/pi
où 2 F égale le total des forces réparties sur tout l'anneau

Si on répartit au contraires ces forces en quatre points équidistants sur le cercle, en gros on doit avoir M'=F'xL/8 (c'est une approximation raisonnable)
avec L = piR/2 (longueur d'un quart de cercle)
(car F'L/8 est le moment de flexion d'une poutre de longueur L encastrée à ses deux extrémités)
où 4 F' égale le total des forces réparties sur tout l'anneau

On notera que ce deuxième calcul n'est pas du tout conservatif. Il ne place pas en sécurité. Il donne avec le même total de forces 4F' = 2F un moment M' qui est 2x16/pi^2 fois plus faible que M (cad en gros M'=M/3)

Ensuite, on peut faire un calcul plus précis par élément finis. On a alors une base de recoupement qui permet de s'assurer que le modèle élément finis qu'on a réalisé marche correctement.

Bernard Chaverondier
(1) En général la contrainte de traction et celle d'effort tranchant ne jouent pas un rôle très important dans ce cas car la contrainte de flexion est nettement plus grande. Si on y tient quand même, on peut calculer la contrainte de cisailement tau = F/(2S) dans les sections les plus sollicitées qui se trouvent être celles qui se situent de part et d'autre de chaque force F, où S désigne la section de l'anneau. Pour combiner contrainte de traction sigma et contrainte de cisaillement tau, cela dépend des coefficients de sécurité choisis pour les contraintes combinées (ça change un peu selon le règlement de calcul applicable au cas visé).

[invite9125e29b]

ha bin oui alors

bon, c'est une tres bonne aproche de réponse, mais comme dit plus haut, "c'est un cas d'école"
le calcul ne fait donc pas réference à la section de l'anneau
le but ici est "seulement" de définir la force qui écrase (ou étire) l'anneau qui pourait éventuellement se trouver là ! ou bien disons, quelle force écraserai mon doit je le mettait au centre de ce systeme de poutre ail pas bon comme idée

voila, le probleme est plus précis cette fois non ? !

[invite0004bdb4]

Comment calcul-t-on la résistance caractéristique à la traction d'un anneau? Si par exemple on lui inflige une charge répartie a l'intérieur de celui-ci.

En fait, je devrait calculer la résistance à la traction que devrait avoir un toron autour d'un réservoir cylindrique (dans le cadre de precontrainte).

[A voir en vidéo sur Futura]

[chaverondier]

Comment calcule-t-on la résistance caractéristique à la traction d'un anneau si on inflige une charge répartie à l'intérieur de celui-ci ?

• On prend la charge répartie q (des Newton/mm orientée suivant la direction radiale centrifuge) et on la multiplie par le diamètre D de l'anneau.
• On obtient la résultante R de ces charges réparties sur un 1/2 anneau.
• Ensuite, on place la réaction R/2 équilibrant cette résultante R à chacune des deux extrémités de ce 1/2 anneau.
• On divise ensuite R/2 par S, la section droite de l'anneau pour obtenir sa contrainte de traction sigma.
• On compare enfin cette contrainte de traction sigma à la limite admissible en traction sigma_ad appropriée (à définir soigneusement en se reportant à la règlementation applicable au cas d'utilisation considéré).

Finalement l'inégalité : sigma = qD/(2S) < sigma_ad
nous permet de définir la section S minimale de l'anneau requise pour résister au chargement radial centrifuge réparti q.

PS :
il y a 2 coquilles (évidentes) dans mon message de juillet 2005 (pour ceux qui s'amuseraient à le lire et auraient l'imprudence de l'utiliser sans avoir d'abord vérifié par eux-même la validité de ce qui y est écrit)
1/ le moment de flexion maximal d'un anneau de rayon moyen R soumis à deux forces opposées tendant à l'ovaliser vaut : M_max = FR/pi
2/ la contrainte maximale de cisaillement d'effort tranchant tau dans un tube de section S soumis à un effort tranchant T vaut : tau = 2 T/S bien sûr (et non T/(2S))
où S = (pi/4)(D^2-d^2) désigne la section droite du tube

[invite0004bdb4]

Un grand merci pour ta réponse.