Plan stable

[CARAC8B10]

Je renvoie mon message car en voulant le modifier une partie du code LaTeX a disparu !!

Bonjour
J’ai quelques difficultés dans la dernière question de l’exercice suivant ::
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Soit f l’endomorphisme de représenté par A dans la base canonique

On pose
1) Déterminer toutes les droites vectorielles stables par f
2) Montrer qu’un plan P est stable par f si et seulement si
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On montre que :
A est triangulaire, de valeur propre unique 2, de polynôme caractéristique
G matrice de g dans la base canonique
de dimension 2




1) Les droites vectorielles stables par f ont pour base les vecteurs propres de f.
Elles appartiennent au plan vectoriel P de base et

2) J’en suis à l’implication : P stable par f
On constate sur l’expression de que
P contient le vecteur propre de f
De plus :
Mais je n’arrive pas à en déduire que soit : avec k réel non nul.
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[Resartus]

Bonjour,
Le plan P est stable, mais il n'est pas de dimension 1. f(x) n'est pas forcément égal à kx. il peut avoir une composante dans une autre direction du plan.

[gg0]

Bonjour.

Quelques erreurs :
* n'est pas correct, c'est la matrice de f (oubli d'annuler la diagonale ?); ?? Est-ce aussi une erreur de copie ?
* : il manque une composante.

Cordialement.

[CARAC8B10]

Bonjour,
" , mais il n'est pas de dimension 1. f(x) n'est pas forcément égal à kx. il peut avoir une composante dans une autre direction du plan."
Je ne comprends pas bien ta remarque.
C’est justement ce que je veux démontrer : que ce plan est stable par f.
J’avais pensé à une base pour ce plan constituée du vecteur et d’un autre à déterminer mais je ne vois que le vecteur ce qui ferait du plan le plan vectoriel
Mais y a t il d'autres plans candidats ?
Je nage complètement !

[A voir en vidéo sur Futura]

[CARAC8B10]

@gg0
Fautes de frappe

[CARAC8B10]

Bonjour
Je n'ai toujours pas trouvé de démonstration...
Qui pourrait s'intéresser à mon problème ?
Merci

[gg0]

OK.
Je ne suis pas très bon en algèbre, alors je vais essayer de voir avec toi comment faire.
Qu'est-ce qu'un "plan" ici ?
Quelle est la définition de "plan stable" ? (*)
Vois-tu un plan vectoriel tel que ? (**)

Cordialement.
(*) je ne la connais pas.
(**) là, j'ai une idée.

[CARAC8B10]

Bonjour gg0,
Je fais des math à mes moments perdus et j’ai trouvé cet exercice sur le net, je ne sais plus sur quel site,
Il s’agit bien de plan vectoriel stable par l’appplication lineaire f.
Effectivement le plan vectoriel Ker(g) semble convenir pour ledit plan P. Est-il le seul ?

[Resartus]

bonjour
Je suppose que vous avez mal recopié l'énoncé, et qu'il s'agit juste de montrer que si p est compris entre im(g²) et Ker(g²), il est stable.
Car la réciproque est fausse : 0 ainsi que l'ensemble total sont stables, mais ils ne sont pas compris entre Im(g²) et Ker(g²)

Pour la démonstration qu'un plan contenant Im(g²) et inclus dans Ker(g²) est stable, il faut le montrer pour les plans obtenables à partir des trois vecteurs de base que vous avez trouvés pour ker(g²) et incluant im(g²)
Evident pour le plan total ker(g²) de dimension 3 et pour la droite limitée à im(g²)
Pour un plan strictement dans ces deux bornes (qui sera donc de dimension 2), il contiendra nécessairement le vecteur de base de im(g²), et un vecteur combinaison linéaire des deux autres vecteurs de la base de Ker(g²) : vous allez constater que son image par f(x) a une composante proportionnelle 2* mais qu'elle contient AUSSI une composante selon l'axe Im(g²). Donc ce vecteur individuellement n'est pas stable, mais un plan le contenant ainsi que Im(g²) est bien stable.

C'est ce que j'essayais d'expliquer dans ma première réponse : un plan peut être stable, sans que la relation f(x)=kx soit vraie pour tous les vecteurs de ce plan.

[GBZM]

Hum, Resartus semble oublier qu'un plan vectoriel est de dimension 2.

[Resartus]

Bonjour,
Ah oui, en effet, j'avais extrapolé abusivement à tous les sous espaces vectoriels possibles.
En excluant 0 et l'espace entier (et aussi au passage Im(g²) qui est "une droite" et Ker(g²) qui est "un hyperplan") , les réciproques deviennent vraies, ce qu'on peut démontrer par leurs contraposées.