Polynome de dégré 4

[inviteda3529a9]

Bonjour à tous.
Connaissez vous des méthodes pour trouver les racines du polynome suivant (ou tout autre polynomes de degré n):
8x^4-8x^2-x+1=0
Merci d'avance
A très bientôt.
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[invite4492c379]

Il n' existe aucune méthode générale pour les polynomes de degré > 4. Il en existe plusieurs pour les polynomes de degré inférieur. Dans ce cas je chercherai `a trouver une solution évidente et à faire une division.

[Tiky]

Il n' existe aucune méthode générale pour les polynômes de degré > 4. Il en existe plusieurs pour les polynômes de degré inférieur. Dans ce cas je chercherai `a trouver une solution évidente et à faire une division.

Faux, ou plutôt inexact. Il n'existe pas de méthode de résolution par radicaux mais il existe d'autres méthodes de résolution. Je crois qu'on peut s'en sortir avec des fonctions elliptiques et cela quelque soit le degré. Évidemment, il faut s'entendre sur ce qu'on appelle résoudre une équation polynomiale.

[inviteda3529a9]

Merci mais j'ai plusieurs questions
1/ Quels sont les conditions pour pouvoir effectuer une division euclidienne avec un polynomes ???
2/ qu'entendez vous par d'autres méthodes de résolution ?
Qu'est ce qu'une fonction elliptique ?
3/ Qui a d'autres suggestions svp ^^

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite332de63a]

Message supprimé car faux -_-'

[Tiky]

1) Si tu travailles sur le corps des réels ou des complexes, tu peux toujours faire la division euclidienne d'un polynôme A par un polynôme B non-nul.
Plus généralement, tu peux le faire dans l'anneau des polynômes à coefficient dans un corps K commutatif.

2) J'entends par résoudre une équation polynomiale, chercher à exprimer les racines du polynôme de manière à faciliter ensuite une approximation numérique.
La résolution par radicaux consiste à exprimer les racines du polynôme en utilisant une combinaison fini de cinq opérations sur des réels : l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racine n-ième.
Vouloir que toutes les racines de polynôme puissent s'exprimer par radicaux est aussi absurde (même si ce n'est pas évident) que de vouloir tracer n'importe quel nombre,
ou figure à la règle non-graduée et au compas. Ou encore d'exprimer toutes les primitives avec un ensemble déterminé de fonctions "usuelles".

Concernant les fonctions elliptiques, je te laisse regarder sur Wikipédia. Ça nécessite un bon bagage de connaissances pour être compris et utilisé et n'est pas utile pour ton problème initial.

3) Tu peux résoudre les équations du quatrième degré par radicaux : http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_polynomiale

[invitedb595c58]

Tu remarques que 1 est une solution évidente donc tu peux factoriser ton polynôme, Ensuite, par identification tu trouve a,b,c.
Tu essaye a nouveau de trouver une solution évidente du polynôme de degré 3 que tu trouvera, ou utilise les relations entre les coefficients pour trouver les solutions du nouveau polynôme.

[Seirios]

Bonjour,

Lorsque l'on a un polynôme à coefficients entiers (en fait, on peut même s'accomoder de coefficients rationnels), on peut déterminer toutes ses racines rationnels assez simplement. Si est racine du polynôme , alors divise et divise . Après, il n'y a plus qu'à tester les valeurs possibles.

[breukin]

Faux, ou plutôt inexact. Il n'existe pas de méthode de résolution par radicaux, mais il existe d'autres méthodes de résolution

Faux, ou plutôt inexact. Car il existe d'autres types de radicaux, comme les radicaux de Brings, qui permettent le degré 5 !
Il serait intéressant de savoir jusqu'à quel degré les radicaux de Brings permettent d'aller, et puis si on peut inventer des radicaux de plus en plus élaborés pour aller de plus en plus loin dans les degrés.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Radical_de_Bring

[invitefd4e7c09]

Bonjour,

Voici une méthode simple et gratuite pour "trouver les racines du polynôme" en question : ici

Cordialement
Anthony

[invitefd4e7c09]

...ah j'oubliais de dire qu'il est possible de s'en sortir également sans logiciel à l'aide d'une vieillerie connue sous le nom de méthode de Newton-Raphson.
C'est un peu laborieux parfois de se faire les calculs à la main avec cette méthode mais ça marche très bien et cela quelque soit le degrés du polynôme en question