Factorisation en entiers de Gauss

[Jon83]

Bonsoir à tous!

Je recherche les techniques permettant de factoriser une expression en entier de Gauss.
Par exemple l'expression peut se décomposer sous la forme .
Mais je ne sais pas comment y arriver...
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[Seirios]

Bonjour,

Dans ce cas précis, tu peux passer par les normes. Si l'entier de Gauss z divise -7+24i, alors N(z) (=|z|²) divise N(-7+24i). Or , donc on peut essayer d'écrire -7+24i comme le produit de quatre termes de norme 5. Comme il n'y a que deux entiers de Gauss de norme 5 (2+i et 1+2i), on peut trouver la décomposition de -7+24i relativement facilement.

[Jon83]

OK! Merci pour ta réponse.
Et dans d'autre cas plus généraux a+ib avec a et b appartenant à Z, quelle est la technique de factorisation?

[invite91724928]

Salut Jon83, pour l'exemple z=-7+24i il y a deux factorisations possibles;

pour le cas général il va falloir résoudre l'équation suivante :
tels que z1 et z2 sont deux nombres complexes et et ,ce qui donne:


et c'est pas facile de résoudre cette équation, c'est pour ça il faut introduire les normes :



ou finalement :
Pour l'exemple que tu as pris, on a :

dans cette étape tu peux créer un tableau d'Excel qui donne les différentes valeurs de n de 1 jusqu’à 100 par exemple: tu vas bien trouver que n=4 pour que soit un nombre entier
après tu vas arriver à cette égalité :
là il suffit de travailler sur puisque et
pour notre exemple :

pour que d=1 -1 on c=2 ou -2,
dans le cas général on a la formule suivante :

là tu vas encore utiliser un tableau de Excel en donnant les différentes valeurs entières de d pour que c soit entier également, et pour n on l'a déjà trouvé dans l’étape précédente.
je m'excuse s'il y a des erreurs de latex je suis encore débutant

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jon83]

Merci Rend85! Je vais étudier ta démonstration.
Entre temps, j'ai trouvé cet article: http://stackoverflow.com/questions/2...ssian-integers