Entiers de Gauss

[inviteb8f38dc5]

Bonjour, je bloque sur cet exercice qui traite des entiers de Gauss que je ne connais pas encore tres bien.

On note i tel i² = -1.
On considere l'ensemble Z[√2i] = {a+bi√2; a , b dans Z}

1) Montrer que Z[√2i] est un anneau commutatif integre.

Je pense a prendre 2 entiers de gauss A et B et montrer que AB = BA pour la commutativité mais je ne suis pas sur. Pour l'intégrité je en sais pas.

2) Pour tout nombre complexe A = x+yi , on considere sa norme
N(A) = x²+y². Montrer que N(AB) = N(A)N(B).
Monter que si A = a+bi√2 , N(A) = a² +2b²

Pour cette question c'est bon.

3) Soient A et B dans Z[√2i] avec B non nul. Montrer qu'il existe C et D dans Z[√2i] tels que :

A= BC + D , avec N(D) < N(C)

Je reconnais bien la une division euclidienne mais je ne sais pas comment demontrer que c'est possible dans l'anneau Z[√2i].


4)Montrer que tout ideal de Z[√2i] est principal.


Merci de votre aide.
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[invite986312212]

bonjour,

les entiers de Gauss c'est sans le "racine de 2".

je te conseille d'inverser les questions 1) et 2) . Tu montres d'abord que la norme d'un produit est le produit des normes. C'est facile et si tu connais le résultat pour C tu n'as rien à montrer. Tu auras immédiatement le fait que l'anneau est intègre (de toutes façons c'est un sous-anneau de C, mais bon...)

[taladris]

On considere l'ensemble Z[√2i] = {a+bi√2; a , b dans Z}

1) Montrer que Z[√2i] est un anneau commutatif integre.

Tu peux montrer que c'est un sous anneau de . Du coup, il est forcément commutatif et intègre.

[inviteb8f38dc5]

Pour la question 1 , puis-je rediger ainsi :

(Z[√2i], +) est un sous-groupe de (C, +)

Z[√2i] est stable par la loi . c a dire le produit de 2 entiers de Z[√2i] est encore un entier de Z[√2i].

Donc (Z[√2i], +, .) est un sous-anneau de (C,+,.) qui est commutatif et intègre donc ses propriétés sont induites sur l'anneau Z[√2i].

Pour la 3 je cherche encore et je crois que la 4 est juste une conséquence de la 3 du fait que tout anneau euclidien et principal.
Je ne comprend pas d'ailleurs tout a fait la notion d'anneau principal.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite986312212]

il existe une très jolie démonstration, due à Minkowski, du fait que l'anneau des entiers de Gauss est euclidien. Dans le plan complexe, les entiers de Gauss forment un réseau de maille 1x1. Si tu te donnes deux entiers de Gauss a et b, leur rapport a/b est un nombre complexe qui se trouve nécessairement à une distance moindre que 1 de l'un des points du réseau, disons c. Tu poses d=a/b-c, et donc N(d)<1. En multipliant par b tu arrives à a=cb+db et N(db)<N(b)

mais je ne vois pas comment utiliser le même argument ici. En revanche, il suffit de montrer que si b divise a, alors N(b)<=N(a), cela entraîne l'existence d'un algorithme de division euclidienne.

[taladris]

(Z[√2i], +) est un sous-groupe de (C, +)

Z[√2i] est stable par la loi . c a dire le produit de 2 entiers de Z[√2i] est encore un entier de Z[√2i].

Il faut, je pense, que tu détailles les calculs. Sinon la démonstration est juste.

[inviteb8f38dc5]

Quelqu'un a une idée pour la question 3 ?

[taladris]

Comme et sont des anneaux isomorphes et que l'isomorphisme naturel entre ces deux anneaux préservent leur norme, il me semble que la démo d'ambrosio devrait fonctionner.

[inviteb8f38dc5]

Mais comment rediger la demonstration d'ambrosio dans notre cas ?