démo en algèbre linéaire

[invite371ae0af]

bonjour,

j'aimerai une précision sur le début de démonstration d'un lemme:
soit E un K espace vectoriel. Soient p<n et {e1,...,ep} une famille libre. Soit {f1,...fn} une base de E
Alors il existe i tel que la famille {e1,...,ep,fi} est libre

dans la démonstration on commence par:
soit la famille {e1,...,ep,f1} est libre dans ce cas c'est bon
sinon elle est liée puis dans la suite on le prouve

Pourquoi fait-on cette distinction de cas? on cherche à vérifier quel serait le f qui conviendrait parmi tous ceux qui forment une base de E?

D'autre part, j'aimerai savoir en quoi ce lemme nous permet directement de trouver le théorème de la base incomplète:
voici l'énoncé que j'ai:
Soit E un K espace vectoriel de dimension n . Soit p<n et {e1,...,ep} une famille libre. Alors il existe n-p vecteurs e_p+1,...,en tel que la famille {e1,...,en} soit une base de E

merci de votre aide
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[Seirios]

Bonjour,

Pourquoi fait-on cette distinction de cas? on cherche à vérifier quel serait le f qui conviendrait parmi tous ceux qui forment une base de E?

Je ne comprends pas très bien ce qui te gêne.

D'autre part, j'aimerai savoir en quoi ce lemme nous permet directement de trouver le théorème de la base incomplète

Soient une famille libre et une base de E. Si p=n, il n'y a rien à faire, puisque est une base de E. Si p<n, il existe tel que soit libre. On pose donc . La famille étant libre, on peut continuer le procédé jusqu'à obtenir une famille de n vecteurs ; on saura alors que ce sera une base.

[invitec3143530]

{e1,...,ep} ne peut pas être une base de E car si c'était le cas il serait de dimension p or ce dernier est de dimension n d'après notre hypothèse.

Il existe donc un vecteur qui ne peut être exprimé comme combinaison linéaire de {e1,...ep} donc la famille {e1,...ep,fi} est libre !

[invite371ae0af]

merci à vous deux, ce qui m'intéressait était surtout la seconde question puisque la première est un peu stupide (il n'y a rien de spécial)

[A voir en vidéo sur Futura]