algébre linéaire

[invite402e4a5a]

bnjr tt le monde
g une quest svp
soit E un K ev de dim n et f appartient L(E)
mt: f bij <=> quelquesoit g appartenant à L(E) on a : gof=0 => g=0
pour f bij => blabla..... c fait
il me raiste la deuxième implication
merci 'avance
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[invite57a1e779]

Soient F un supplémentaire de Im(f) dans E et g le projecteur sur H parallèlement à Im(f). Que vaut gof ? Que vaut H ?

[invitec317278e]

essaie de montrer par l'absurde que f est surjective.

Edit : grillé

[invitec317278e]

PS : dans son post, God's Breath voulait dire :

Soient H un supplémentaire de Im(f) dans E et g le projecteur sur H parallèlement à Im(f). Que vaut gof ? Que vaut H ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Merci Thorin pour cette correction.

[invite402e4a5a]

a_t_on le droit de faire une telle hypothèse?
est ce qu'on a tjrs des projeceurs??

[invite402e4a5a]

alors H=F
et pou tt x appartenant à E
g(x)=gof(x)+Y tq : Y appartient à H
et puis??!

[invite402e4a5a]

pour Thorin : g essayé l'absurde mais g rien trouvé!!

[invite402e4a5a]

j'attends votre réponse...

[invite402e4a5a]

[invite57a1e779]

Si g est un projecteur parallèlement à Im(f), alors, pour tout x de E, f(x) étant élément de Im(f), on a gof(x) = 0. Donc g = 0.
Comme g est un projecteur sur H, on a Im(g) = H.

Finalement H={0} est supplémentaire de Im(f) dans E, donc E=Im(f) et f est surjective.

[invite402e4a5a]

merci 1000 fois