Etude de fonction

[invitef3dd8bd8]

Bonjour tout le monde !

Je bloque carrément sur un exo sur les fonctions...

I=intervalle
f:I-->R
k€R a€R>1
soient (x,y)€I² |f(x)-f(y)|<= k|x-y|^a

Le but de l'exercice est de montrer que f est constante...

Je sais pas du tout comment démarrer donc si quelqu'un peut me donner une piste de départ, ca serait cool =)
j'ai essayé en posant f(y)=0 mais ca donne rien, ou jarrive pas a continuer
Merci
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[Flyingsquirrel]

Salut,

Je sais pas du tout comment démarrer

Pour commencer, essaie de montrer que est dérivable sur .

[invitef3dd8bd8]

Merci beaucoup ! Je passerai plus de temps à chercher la prochaine fois

|f(x)-f(y)|/|x-y| <= k|x-y|^a-1

-k(x-y)^a-1<= f(x)-f(y)/x-y <= k(x-y)^a-1
a>1 donc lim(f(x)-f(y)/x-y)=0 d'après le th d'encadrement!
donc f est derivable en tout point de I

d'ou f'(y)=0 ceci étant valable pour tout y de I on en déduit que f est constante...
Juste une question est-ce que pour la rédaction c'est ok ?

[Flyingsquirrel]

Juste une question est-ce que pour la rédaction c'est ok ?

Presque.

Il faudrait préciser que les inégalités

|f(x)-f(y)|/|x-y| <= k|x-y|^a-1

-k(x-y)^a-1<= f(x)-f(y)/x-y <= k(x-y)^a-1

sont valables pour tout () car c'est cela qui t'autorise à faire tendre vers ainsi qu'à dire que est dérivable sur tout entier.

-k(x-y)^a-1<= f(x)-f(y)/x-y <= k(x-y)^a-1

Là, des valeurs absolues ont disparu... il aurait fallu les garder :

(d'ailleurs on pourrait aussi justifier le fait que est positif car l'énoncé nous dit uniquement qu'il est réel...)

a>1 donc lim(f(x)-f(y)/x-y)=0 d'après le th d'encadrement!
donc f est derivable en tout point de I

d'ou f'(y)=0

Quand je lis ça j'ai l'impression que tu affirmes que la dérivabilité de sur implique que ... (personnellement j'aurais écrit « et » à la place de « d'où »)

[A voir en vidéo sur Futura]