calcul d´une intégrale par la méthode des résidus

[invitee75a2d43]

Bonjour, j´ai une intégrale qui me pose problème, je dois la calculer par la méthode des résidus:



la méthode où on pose z = e^ti n´est pas valable sous cette forme car la fraction possède des pôles sur le cercle trigonométrique.

J´ai eu donc l´idée d´"élargir" le cercle en posant z = r.e^ti.
On a peut alors facilement calculer cos t et sin t en fonction de z, 1/z et r, de même que dz en fonction de dt.

Je dois choisir r de façon à ce que la fraction rationnelle en z n´aie pas de pôle sur le cercle. Mais alors j´arrive à un résultat abhérant:

Le deux pôles sont dans le disque déterminé, mais leurs résidus sont opposés. On a alors dans tous les cas une somme des résidus nulle, ce qui me semble impossible car alors l´intégrale de départ serait nulle, ce dont je doute.

Me goure-je?

Merci d´avance.

Christophe
-----

[invite4ef352d8]

Salut !

le problème est plus grave que cela...

quand tu fais le changement de variable, tu vois effectivement que t'as fonction à un pole sur le cercle... mais réfléchie une seconde :

tu as fonction avec des sin et des cos, que tu ecrit comme f(exp(ix))
au départ tu avait intégral de f(exp(ix)) dx, tu pose z=exp(ix), tu te retrouve avec l'intégral de f(z)/z

mais si f(z) à un pole sur le cercle unité, c'est que f(exp(ix)) avait un pole sur [0,2Pi] !!

en fait ton intégral n'est pas définie, la fonction à un pole simple dans son domaine de définition et donc n'est pas intégrable.

[invitee75a2d43]

merci, je vais réfléchir à ta réponse

[invite57a1e779]

Bonjour,

Le dénominateur a deux racines simples sur l'intervalle d'intégration : et .
Ton intégrale n'est pas définie, sauf éventuellement en tant que valeur principale de Cauchy.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee75a2d43]

Merci de cette réponse claire, je ne veux pas trop savoir ce qu´est une valeur principale de Cauchy, je verrai ça plus tard.