Applications entre espaces euclidiens

[invite97a526b6]

Bonjour,

Soit une application entre deux espaces euclidiens qui conserve la norme.
Question: cette application est-elle linéaire ?
Sinon: contre-exemple ?

Il me semble que la réponse est Oui: ce sont des rotations ?

Merci pour réponse.
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[invite986312212]

prends un espace euclidien quelconque (de dimension au moins 1 ), choisis un vecteur u de norme 1 et prends l'application f qui à x associe |x|u. Elle n'est pas linéaire parce que si x n'est pas nul, f(x)+f(-x)=2f(x) et non 0.

[invite97a526b6]

Oui, c'est évident.
Comment n'y avais-je pas pensé!
Merci.

[invitea41c27c1]

Celà depend:
- Si , alors tu as le contre-exemple.

- Si (ce qui pour moi est la définition de conserver la norme, ou si on ne veut pas d'ambigueté on dit que f conserve les distances), alors est affine ie est linéaire !!!

[A voir en vidéo sur Futura]