Automorphisme orthogonal - Espaces euclidiens

invite51cb452e · 29/05/2008, 21h47

Bonsoir, je bloque à un exercice, voici l'énoncé :

Soit $\text{[math]}$ un espace euclidien de dimension 3, $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ un vecteur unitaire de $\text{[math]}$ .
On défini l'application $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ par:

$\text{[math]}$

Pour quelles valeurs de $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ est-il un automorphisme orthogonal?

Pouvez vous me donner des pistes pour résoudre ce problème s'il vous plait.
Je n'arrive pas du tout à voir par quoi commencer...
Merci d'avance.

invite57a1e779 · 29/05/2008, 22h19

Envoyé par remi_17

Soit $\text{[math]}$ un espace euclidien de dimension 3, $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ un vecteur unitaire de $\text{[math]}$ .
On défini l'application $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ par:

$\text{[math]}$

Pour quelles valeurs de $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ est-il un automorphisme orthogonal?

Il faut tout d'abord vérifier que $\text{[math]}$ est linéaire.

Ensuite tu as deux options :
– prouver que, pout tout vecteur $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ , on a $\text{[math]}$ ;
– prouver que l'image par $\text{[math]}$ d'une base orthonormée est une base orthonormée.

La première option est lourde et calculatoire.
La finesse de la seconde option réside dans le choix de la base orthonormée dont on va déterminer l'image par $\text{[math]}$ .

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