Calcul d'intégrales par la méthode des résidus

[invite1f987de1]

Bonjour tout le monde, voilà, j'ai un petit problème, je dois calculer une intégrale et je voudrais savoir si ma réponse est juste ou pas !

L'intégrale à calculer est:



Méthode utilisée (et demandé par le prof !): Méthode des résidues

Et je me base sur un contour qui est un demi cercle supérieur centré en zéro.

J'ai commencé par chercher les pôle de la fonctions qui sont:


Je dis que ce sont des pôles simples (mais là, je suis pas sur, j'ai pas encore très bien compris quand c'est simple, double, etc)

J'ai calculer le résidu pour ces deux pôle et je trouve :

et

et ces deux malheureux s'annule et je trouve donc comme réponse à mon intégrale un minable .

Malheureusement, je pense pas que l'intégrale vale et j'ai donc fait une erreur quelque part.

Qqn aurait la gentillesse de me dire ou je me plante ?

J'espère avoir donné suffisamment d'information. Si ce n'est pas le cas, dites le moi de suite.

Merci beaucoup d'avance
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[invite986312212]

sur quel contour est-ce que tu intègres?

[invite1f987de1]

Sur le demi cercle supérieur de rayon R centré en zéro et je fais tendre R vers l'infini.

Maintenant, ça c'est moi qui l'ai décidé, c'est peut-être pas juste !

[invite986312212]

alors tu remarqueras que l'un des pôles est à l'intérieur du contour et l'autre à l'extérieur...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1f987de1]

Oups...

M'en vais corriger tout ça !

Merci pour ton aide !

Bon aprem.

ps: Désolé d'avoir fait le boulet

[invite57a1e779]

Oups...

M'en vais corriger tout ça !

Merci pour ton aide !

Bon aprem.

ps: Désolé d'avoir fait le boulet

Personnellement, je trouve quatre poles (un polynôme de degré 4 a 4 racines !), dont deux dans le contour d'intégration, avec une somme des résidus non nulle...

[breukin]

Mais non, la fonction a 4 pôles, dont 2 sont dans la partie Im z > 0.
Il ne faut pas écrire √i, car on ne sait pas de quelle racine on parle.
Mais e^iπ/4 et e^3iπ/4.
Finalement, les pôles sont ±1+i.
Et les résidus aux pôles sont 1/(8(±1+i)) = (±1–i)/16.
La somme des résidus vaut donc -i/8 et l'intégrale π/4, sauf erreur de ma part.