integrale avec méthode des résidus

[invitef51527eb]

Bonjour,

Je n'arrive pas à calculer cette intégrale :



J'ai bien utilisé le fait que



Avec le demi-arc centré sur 0 sur le plan supérieur complexe. Et le demi-cercle formé de ce demi-arc et de l'axe réel.

J'ai bien réussi à démontrer que grâce au Lemme de Jordan.

J'ai donc I=J

Mais il me reste J à calculer avec la méthode des résidus.
J'ai trouvé les pôles : et mais je n'arrive déjà pas à determiner leur ordre.

J'ai bien essayé de développer le sinus autour de mais ça ne me donne rien. J'ai aussi essayé en mettant sous la forme d'exponentielles et de developper les exp autour de mais ça ne donne rien non plus.

Quelqu'un pourrait-il m'aider??

Merci beaucoup
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[invite9cf21bce]

Salut.

i est le seul pôle à étudier.

sin(ai) ne vaut pas zéro, sauf si a=i k, k entier (cas à traiter à part).

Donc ton étude de résidus se ramène à celle de 1/(x²+1)².

Taar.

[invitef51527eb]

i est le seul pôle à étudier.

En effet, merci!

Par contre, j'ai oublié de préciser que donc a est réel. En effet c'est une intégrale réelle que l'on cherche à calculer. Donc .

Je sais aussi que le résultat est

Je trouve pour mon résidu de :



ce qui donne pour mon intégrale



Et je ne vois pas combien peut faire ou

Où est mon problème ou mon(mes) erreur(s)?

[invitef51527eb]

Ca y est j'ai trouvé!!

[A voir en vidéo sur Futura]