calcul numérique d'une intégrale : méthode de Gauss

[invite00c17237]

But:

Calcul de l'intégrale I = int f(x) dx entre a et b de manière approchée

J'ai une méthode de calcul approchée d'intégrale de Gauss. Mais j'ai pas mal de difficultés. Il faut dire que je ne suis pas un cador en maths.
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[invite00c17237]

la suite :

et les questions

- égalité 88 / 89 est-ce que qqn comprend d'où ca sort cette égalité . Ca fait partie de la méthode mais . pourquoi on fait comme ca ... si qqn a une idée

- pourquoi dans la méthode de tchebycheff phy(u) est remplacé par une polynome de degré égal au moins à 2n+1 (et pourquoi 2n+1)

- Dans cette méthode de Gauss, pourquoi on polynôme de legendre de degré n+1

Merci d'avance

J'espère que mes images seront lisibles

[invitea29d1598]

salut,

je ne sais pas ce que tu comprends pas exactement mais tu peux aller voir là pour plus de détails sur le calcul par quadrature:

http://math.fullerton.edu/mathews/n2...anQuadMod.html

en pratique, si tu ne veux pas faire les calculs à la main, tu peux ensuite utiliser mathematica (voir sur le même site
http://math.fullerton.edu/mathews/n2...gendreMod.html) ou bien si tu cherches à écrire un programme numérique pour calculer une intégrale de cette façon, tu trouveras cela tout fait dans numerical recipies (en f90 ou en C):


http://www.nr.com/

et si tu veux un tout petit peu plus de détails sur la théorie:

http://mathworld.wolfram.com/Quadrature.html

(pour plus de détails dans le cadre des "méthodes spectrales" va voir ta biblio de math préférée )

[invitea29d1598]

j'avais commencé ma réponse avant de voir ton deuxième message... donc elle n'en tient pas compte.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea29d1598]

- égalité 88 / 89 est-ce que qqn comprend d'où ca sort cette égalité . Ca fait partie de la méthode mais . pourquoi on fait comme ca ... si qqn a une idée

ça dit juste que le but de la méthode est de calculer l'intégrale non pas directement mais simplement en faisant la somme d'un certain nombre de facteurs. Idéalement si ton approximation est bonne ton intégrale (88) est donc égale à la somme (89) qui ne comporte qu'un nombre fini de facteurs.

en pratique, tu montres que ce nombre est bien fini si la fonction que tu intègres est un polynôme (et si tu as choisi la bonne base de fonctions pour décomposer: les bonnes fonctions orthogonales). Si la fonction que tu intègres n'est pas un polynôme, le nombre de facteurs dans la somme (89) devra être infini pour que tu aies égalité exacte. Le but sera donc d'avoir une somme de N termes qui soit le plus près possible de la vraie valeur...

à suivre... (si j'arrive à lire tes images )

[invite00c17237]

Un exo d'application

Apparemment je suis arrivé à le faire c'est pas dur (J'espère que je ne me suis pas trompé)

Voilà l'exo et les resultats : si qqn peut vérifier le résultat ... ca prend pas longtemps

Ca servira si d'autres veulent regarde cette méthode de Gauss. Ca permet de mieux comprendre comment appliquer la méthode

Il n'en demeure pas moins que j'aimerais comprendre la théorie (cf questions d'avant)

Je n'ai fait que Ho pour le P3(x). Pour H1, H2 c'est la même méthode

Résultat de Ho:

5/3 ( A vérifier)

[invite00c17237]

Je te remercie Rincevent. Tu m'éclaires ce que tu dis. D'où le choix d'un polynome de Legendre.

Mais pourquoi la somme de termes seraient infini avec une fonction. Parce qu'on n'arrive jamais à la décomposer dans une base de polynome ??? (c'est une question)

[invitea29d1598]

Mais pourquoi la somme de termes seraient infini avec une fonction. Parce qu'on n'arrive jamais à la décomposer dans une base de polynome ??? (c'est une question)

c'est ça: si ta fonction n'est pas un polynôme, tu ne pourras pas la décomposer sur cette base avec un nombre fini de composantes.

ps: pour moi tes images sont pas très lisibles et le peu que j'ai lu ne m'a pas paru expliqué très clairement... si tu veux mon avis, va voir ailleurs...

[invite00c17237]

peut-tu quand même me répondre quand au polynome de legendre

Je te remercie d'avance

[invitea29d1598]

si tes racines de P3 ont bien pour valeur absolue sqrt{3/5} = sqrt{15}/5 je suis d'accord (mais je vois un 2 pour celle qui est négatif: c'est peut-être dû à la mauvaise résolution) sur ça, mais pas le reste: pour H0, ce n'est pas 5/3 mais 5/9... tu as dû oublier un facteur.

sinon, voici une méthode plus simple pour le calculer: tu utilises le fait que le poids des deux racines de signes opposés sont égaux (par symétrie de l'intégrale à calculer) puis le fait que pour Legendre la somme des poids est toujours égale à 2 (ça se montre et ça doit être mentionné dans un des trucs que je t'ai indiqués).

ainsi, si tu calcules le poids de la racine 0 tu as une intégrale assez simple à calculer et telle que ce poids + deux fois le poids que tu cherches est égal à 2. Et tu tombes facilement sur le fait que le poids de la racine nulle est 8/9 ce qui te donne le 5/9.

l'idée derrière tout ça est qu'avec les symétries tu peux gagner du temps

[invite00c17237]

si tes racines de P3 ont bien pour valeur absolue sqrt{3/5} = sqrt{15}/5 je suis d'accord (mais je vois un 2 pour celle qui est négatif: c'est peut-être dû à la mauvaise résolution)

- Pour le 2 c'était pas la mauvaise résolution, je l'avais mal écrit pourtant c'est ce que j'avais trouvé

sur ça, mais pas le reste: pour H0, ce n'est pas 5/3 mais 5/9... tu as dû oublier un facteur.

- Ici je ne comprends pas : j'ai chercher en vain sur la formule mais je ne vois pas le terme que j'ai oublié

sinon, voici une méthode plus simple pour le calculer: tu utilises le fait que le poids des deux racines de signes opposés sont égaux (par symétrie de l'intégrale à calculer) puis le fait que pour Legendre la somme des poids est toujours égale à 2 (ça se montre et ça doit être mentionné dans un des trucs que je t'ai indiqués).

- et là , cà m'a l'air fort interessant mais je n'ai pas encore compris

deux racines de signes opposés sont égaux (c'est à cause du polynome de legendre et pas la symétrie de l'intégrale non (c'est une question ?)

Puis pour Legendre la somme des poids est toujours égale à 2. Ca aussi, j'ai pas compris sqrt{3/5}*2 c'est différent de 2

Désolé, j'espère ne pas être lourd.

ainsi, si tu calcules le poids de la racine 0 tu as une intégrale assez simple à calculer et telle que ce poids + deux fois le poids que tu cherches est égal à 2. Et tu tombes facilement sur le fait que le poids de la racine nulle est 8/9 ce qui te donne le 5/9.

- le poids de la racine 0 : ca veut dire quoi ca . Si c'est la racine 0, son poids vaut 0

Je suis extremement désolé par ma lourdeur. Ca serait très sympa si tu pouvais me donner des détails supplémentaires

[invitea29d1598]

désolé, pas le temps de te répondre en détail. Va voir là peut-être que ça t'aidera:

http://mathworld.wolfram.com/Legendr...uadrature.html

ps: le poids de la racine 0 n'est pas 0:

c'est l'intégrale où tu as comme numérateur (u - u1 ) (u - u2) et comme dénominateur (0 - u1)(0 - u2) = u1 u2

avec u1 = - u2 = sqrt(5/3)

[invite00c17237]

J'ai enfin compris

J'ai reussi le calcul . En trois lignes, je n'ai fait que 2 erreurs. Du coup je n'arrivais jamais au résultat.

J'ai aussi compris cette histoire des poids

En fait Hi (qui est une intégrale) est le poids de la racine ui (c'est comme çà je l'ai pris comme tel ; je ne sais pas pourquoi d'ailleurs; c'est surement par définition de l'orthogonalité des polynomes mais dans ma section en pt (et quand j'étais en prépa) , j'ai pas trop vu çà)

Du coup

On dit que H1 + 2 * Ho(=H2) = 2

(avec H1 le poids de la racine u1=0)

On calcule H1 intégrale simple

et on en déduit Ho

Merci beaucoup pour ton aide. Le site c'était pas la joie une peu trop de notations à mon gout

Tout est bien qui finit bien

Encore merci Rincevent