Calcul d'une intégrale
Salut à tous !
Voilà, je n'arrive pas malgré plein de changements de variables, à calculer cette intégrale :
.
J'ai tenté déja d'utiliser les formules de trigo : t=tan(x/2) et donc cos(x)=(1-t²)/(1+t²) et sin(x)=2t/(1+t^2) et les fonctions hyperboliques, mais impossible déja de simplier la forme de la fonction pour se ramener à calculer des primitives simples.
Si quelqu'un a une petite astuce...
Merci à vous !
Peut-être multiplier par la forme conjuguée pour avoir:
Ce qui te donne 2 intégrales à calculer, regarde un peu les changements de variables habituels, mais je te promets rien.
Oui c'est évidemment ce que j'ai fait. En fait je tombe sur :
L'ennui c'est qu'on ne peut pas couper l'intégrale en deux comme ça (étant donné qu'elles divergent). Je pensais toutefois calculer les primitives entre un segment [a,b] puis faire tendre ensuite a et b vers les bornes. Seraient apparues alors des simplifications qui éliminent les termes divergents. Mais là avec d'une part la valeur de tan(x)-x (lorsque x tend vers Pi/2) qu'il faut compenser de l'autre côté avec une primitive de 1/th², je vois pas du tout...
Ah ben oui en effet, je me suis fait avoir
Bon j'étais partie sur une intégration par parties.
Tout d'abord il est vivement conseillé de calculer :
Pour ceci on utilise un changement de variable en
On tombe alors sur l'intégrale suivante:
Une fois ceci fait on peut s'attaquer à une "partie" de l'intégrale dont on se garde bien d'expliciter les bornes :
Ouf normalement on trouve quelque chose d'inbuvable.... (si tu la calcule d'une autre manière plus rapide c'est mieux ... oups j'avais pas regardé )
Et la je crois que la seule facon de passer est de faire une incursion en complexe en posant
En se remettant bien en mémoire que
Aucune idée si cela peut servir ...
On se ramène à l'intégrale que l'on vient juste de calculer ce qui permet d'espérer des simplifications pour que la somme tende vers une valeur.
Salut ashrak, perso je suis pas sûr qu'il faille couper en deux l'intégrale.
En partant de l'expression première, et en faisant le changement de variable x=2*arctan(t) (ie t=tan(x/2)) Puis en multipliant en haut et en bas par
Pour x=0 à Pi/2
Bon je cherche toujours...je vais regarder ta méthode
@++
La méthode marcherais impecable si une des bornes n'était pas justement zéro qui fait foirer tout! (0 est entre R et C ce qui est assez enbêtant).
J'arrive à la même intégrale que toi par ta méthode mais là même si
En effectuant une quantification du reste avec ma méthode on trouve
Oki, je connaissais pas cette méthode de passage par les complexe et la formule que tu as donné...
Soit le calcul de cette intégrale est vraiment long et calculatoire, soit il y a une énorme astuce qui nous échappe...
@++
Ca y est j'ai trouvé !
En fait on intègre par partie (il n'y a aucun changement de variable à faire) :
Le crochet en 1 vaut
Pour t voisin de 0, on effectue un DL des termes du crochet :
Donc le crochet vaut la valeur en 1.
L'intégrale restante est simple à calculer car les 2t se simplifient. On obtient pour cette intégrale la valeur de
D'où le résultat
C'est un peu la honte là .... Aie , faut pas toujours chercher compliqué.
Bon en même temps cela rassure.
Bonne soirée.
Le passage en complexe peut se réveler très rapide pour certaines intégrales , de façon générale les grosses intégrales peuvent se calculer en effectuant un parcours fermé dans le plan complexe.
