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Calcul d'une intégrale



  1. #1
    Ayrawhsia Aathsir Tia

    Smile Calcul d'une intégrale


    ------

    Salut à tous !
    Voilà, je n'arrive pas malgré plein de changements de variables, à calculer cette intégrale :
    .

    J'ai tenté déja d'utiliser les formules de trigo : t=tan(x/2) et donc cos(x)=(1-t²)/(1+t²) et sin(x)=2t/(1+t^2) et les fonctions hyperboliques, mais impossible déja de simplier la forme de la fonction pour se ramener à calculer des primitives simples.
    Si quelqu'un a une petite astuce...

    Merci à vous !

    -----

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  3. #2
    Ledescat

    Re : Calcul d'une intégrale

    Peut-être multiplier par la forme conjuguée pour avoir:

    Ce qui te donne 2 intégrales à calculer, regarde un peu les changements de variables habituels, mais je te promets rien.
    Cogito ergo sum.

  4. #3
    Ayrawhsia Aathsir Tia

    Re : Calcul d'une intégrale

    Oui c'est évidemment ce que j'ai fait. En fait je tombe sur :


    L'ennui c'est qu'on ne peut pas couper l'intégrale en deux comme ça (étant donné qu'elles divergent). Je pensais toutefois calculer les primitives entre un segment [a,b] puis faire tendre ensuite a et b vers les bornes. Seraient apparues alors des simplifications qui éliminent les termes divergents. Mais là avec d'une part la valeur de tan(x)-x (lorsque x tend vers Pi/2) qu'il faut compenser de l'autre côté avec une primitive de 1/th², je vois pas du tout...

  5. #4
    Ledescat

    Re : Calcul d'une intégrale

    Ah ben oui en effet, je me suis fait avoir
    Cogito ergo sum.

  6. #5
    ashrak

    Re : Calcul d'une intégrale

    Bon j'étais partie sur une intégration par parties.
    Tout d'abord il est vivement conseillé de calculer :

    Pour ceci on utilise un changement de variable en
    On tombe alors sur l'intégrale suivante:


    Une fois ceci fait on peut s'attaquer à une "partie" de l'intégrale dont on se garde bien d'expliciter les bornes :

    on intègre par parties en utilisant la primitive de et la dérivée de .
    Ouf normalement on trouve quelque chose d'inbuvable.... (si tu la calcule d'une autre manière plus rapide c'est mieux ... oups j'avais pas regardé )

    Et la je crois que la seule facon de passer est de faire une incursion en complexe en posant le i est le i complexe pour la première partie de l'intégrale
    En se remettant bien en mémoire que
    Aucune idée si cela peut servir ...

    On se ramène à l'intégrale que l'on vient juste de calculer ce qui permet d'espérer des simplifications pour que la somme tende vers une valeur.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Ayrawhsia Aathsir Tia

    Re : Calcul d'une intégrale

    Salut ashrak, perso je suis pas sûr qu'il faille couper en deux l'intégrale.
    En partant de l'expression première, et en faisant le changement de variable x=2*arctan(t) (ie t=tan(x/2)) Puis en multipliant en haut et en bas par j'arrive au calcul de l'intégrale de :


    Pour x=0 à Pi/2

    Bon je cherche toujours...je vais regarder ta méthode
    @++

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  10. #7
    ashrak

    Re : Calcul d'une intégrale

    La méthode marcherais impecable si une des bornes n'était pas justement zéro qui fait foirer tout! (0 est entre R et C ce qui est assez enbêtant).
    J'arrive à la même intégrale que toi par ta méthode mais là même si aucune idée pour la calculer.
    En effectuant une quantification du reste avec ma méthode on trouve et mapple me donne

  11. #8
    Ayrawhsia Aathsir Tia

    Re : Calcul d'une intégrale

    Oki, je connaissais pas cette méthode de passage par les complexe et la formule que tu as donné...
    Soit le calcul de cette intégrale est vraiment long et calculatoire, soit il y a une énorme astuce qui nous échappe...

    @++

  12. #9
    Ayrawhsia Aathsir Tia

    Re : Calcul d'une intégrale

    Ca y est j'ai trouvé !
    En fait on intègre par partie (il n'y a aucun changement de variable à faire) :


    Le crochet en 1 vaut
    Pour t voisin de 0, on effectue un DL des termes du crochet :

    Donc le crochet vaut la valeur en 1.

    L'intégrale restante est simple à calculer car les 2t se simplifient. On obtient pour cette intégrale la valeur de

    D'où le résultat

  13. #10
    ashrak

    Re : Calcul d'une intégrale

    C'est un peu la honte là .... Aie , faut pas toujours chercher compliqué.
    Bon en même temps cela rassure.
    Bonne soirée.
    Le passage en complexe peut se réveler très rapide pour certaines intégrales , de façon générale les grosses intégrales peuvent se calculer en effectuant un parcours fermé dans le plan complexe.

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