Calcul d'une intégrale

[invited7f426cc]

Bonjour!
J'un léger problème pour calculer pour x>0 f(x)=Integrale(tdt/(1+t+t²+t^3),t variant de x à 1/x)

On me propose de calculer dans un premier temps f'(x), puis d'en déduire f(x). Or, le calcul de f'(x) me donne f'(x)=[x(1-x)]/[(x+1)(x²+1)].
Je me suis efforcé ensuite de décomposer en éléments simples mais, d'après le bref corrigé à ma disposition, f'(x)=1/(1+x²).
Sans-doute ai-je fait une erreur de calcul mais pour l'instant je ne la vois pas.
Pourriez-vous m'aider SVP.
Merci d'avance! (désolé, ma tentative pour copier de mathematica l'intégrale a échoué donc je l'ai réécrit comme j'ai pu)
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[Flyingsquirrel]

Bonjour,



La première intégrale est une primitive classique, on retombe sur en la dérivant. Pour la seconde on peut se ramener à une primitive avec le changement de variable u=1/t et on trouve alors le résultat de ta correction.

[Nox]

Bonjour,

je sreais tent é de dériver g:=t->t/(1+t+t²+t^3) ...

Cordialement,

Nox

[invite2eaa2470]

solution similaire à celle de flyingsquirrel mais sans faire "formellement" le changement de variables :

Tu poses g une primitive de t/(1+t+t^2+t^3) (sans chercher à la calculer bien sûr).

Par définition tu as f(x)=g(x)-g(1/x).

Tu n'as plus qu'à dériver f en utilisant la dérivée de g qui elle est connue (attention à la dérivation de g(1/x) qui est une fonction composée).

Drazala

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited7f426cc]

attention à la dérivation de g(1/x) qui est une fonction composée.

Drazala

C'est bien la méthode que tu proposes que j'avais utilisée , sauf que j'ai été un peu vite...

Merci pour votre aide!